AI Math
ایپ کھولیں

تہرا تکامل کیلکولیٹر

AI سے چلنے والے مرحلہ وار حل کے ساتھ مستطیل، اسطوانی یا کروی متناسق میں تہرے تکامل حل کریں

گھسیٹ کر چھوڑیں یا کلک کریں تصاویر یا PDF شامل کرنے کے لیے

∑Math Input
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

تہرا تکامل کیا ہے؟

ایک تہرا تکامل واحد اور دوہرے تکامل کے تصور کو تین جہتوں تک پھیلاتا ہے۔ کسی ٹھوس علاقے E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3 پر تعریف شدہ فنکشن f(x,y,z)f(x, y, z) کے لیے:

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

EE پر ff کا کل جمع دیتا ہے۔ لامتناہی صغیر حجم عنصر dVdV، کارٹیشی متناسق میں dx dy dzdx\,dy\,dz بنتا ہے، لیکن EE کے ہندسے کے لحاظ سے دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

عام طبیعی معنی:

  • اگر f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1، تو تکامل EE کا حجم دیتا ہے۔
  • اگر f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) ایک کثافت ہو، تو یہ کل کمیت دیتا ہے۔
  • عزوم، کمیت کے مراکز، اور قصور ذاتی کے عزوم سب وزن دار کثافت فنکشنز کے تہرے تکامل ہیں۔

تہرا تکامل حل کرنے کی کلید درست متناسق نظام کا انتخاب اور حدود کو درست ترتیب دینا ہے۔

تہرے تکامل کیسے ترتیب دیں اور حل کریں

قدم 1: متناسق منتخب کریں

علاقے کا ہندسہبہترین متناسقحجم عنصر
ڈبہ / عاممستطیل (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
اسطوانی تناسباسطوانی (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
کروی تناسبکروی (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

قدم 2: حدود ترتیب دیں

تکامل کی ترتیب طے کرنے کے لیے علاقے کو کسی متناسق مستوی پر پیش کریں۔ قسم-I ٹھوس کے لیے جو اوپر سے z=g2(x,y)z = g_2(x,y) اور نیچے سے z=g1(x,y)z = g_1(x,y) سے محدود ہو:

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

قدم 3: تکراری حل کریں

سب سے اندرونی پہلے حل کریں، بیرونی متغیروں کو ثابت سمجھتے ہوئے۔ پھر باہر کی طرف بڑھیں۔

اسطوانی متناسق

تبدیلیاں x=rcos⁡θx = r\cos\theta، y=rsin⁡θy = r\sin\theta، z=zz = z استعمال کریں:

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

rr کا اضافی عامل جیکوبین تعین کنندہ سے آتا ہے۔

کروی متناسق

x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta، y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta، z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi استعمال کریں:

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

جیکوبین ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi نازک ہے — اسے بھولنا واحد سب سے عام غلطی ہے۔

بچنے کے لیے عام غلطیاں

  • جیکوبین بھولنا: اسطوانی کو rr کا عامل ملتا ہے، کروی کو ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi۔ اسے چھوڑنا ہر بار غلط جواب دیتا ہے۔
  • حدود کی غلط ترتیب: سب سے اندرونی حدود بیرونی متغیروں پر منحصر ہو سکتی ہیں، لیکن سب سے بیرونی حدود ثابت ہونی چاہئیں۔ اسے الٹنا بے معنی پیدا کرتا ہے۔
  • sin⁡φ\sin\varphi کے ساتھ علامت کی غلطیاں: کروی میں، φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi] (لہٰذا sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0)۔ φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] استعمال کرنا غلط ہے۔
  • اصطلاحات ملانا: کچھ کتابیں قطبی زاویے (z-محور سے) کے لیے φ\varphi استعمال کرتی ہیں، دیگر سمتی زاویے کے لیے۔ ایک اصطلاح کے ساتھ مستقل رہیں۔
  • علاقے کا خاکہ نہ بنانا: غیر معمولی ٹھوس کے لیے، ایک تیز خاکہ آپ کو ناممکن حدود سے بچاتا ہے۔

Examples

Step 1: تکراری تکامل ترتیب دیں: ∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: zz پر تکامل کریں: ∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: yy پر تکامل کریں: ∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: xx پر تکامل کریں: ∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: کروی میں: 0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1، 0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi، 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: حجم = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: اندرونی: ∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: درمیانی: ∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: بیرونی: ∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: ضرب: 13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: اسطوانی پر بدلیں: 0≤r≤10 \leq r \leq 1، 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi، 0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: تکامل = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: اندرونی: ∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: درمیانی: ∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: بیرونی: ∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

اسطوانی استعمال کریں جب علاقے میں z-محور کے گرد گردشی تناسب ہو لیکن کوئی خاص قطری ساخت نہ ہو (اسطوانے، قطع مکافی، قرص کے اوپر/نیچے مخروط)۔ کروی استعمال کریں جب علاقہ کروں، مبدأ سے مخروطوں سے محدود ہو، یا اس میں مکمل 3D قطری تناسب ہو (گیندیں، کروی خول)۔

جیکوبین وہ تعین کنندہ ہے جو متناسق بدلتے وقت حجم عنصر کو ایڈجسٹ کرتا ہے۔ اسطوانی میں یہ r کے برابر ہے، کروی میں یہ ρ² sin φ کے برابر ہے۔ اس کے بغیر، تکامل غلط حجم ناپتا ہے۔

علاقے کو دیکھیں: پہلے وہ متغیر تکامل کریں جس کی حدود دیگر پر منحصر ہوں (سب سے اندرونی)، پھر باہر کی طرف بڑھیں۔ سب سے بیرونی متغیر کی ثابت حدود ہونی چاہئیں۔ اگر ایک ترتیب بدصورت حدود کی طرف لے جائے، تو علاقے کے خاکے کا استعمال کرتے ہوئے ترتیب بدلیں۔

ہاں، اگر تکاملی منفی ہو سکتا ہو۔ حجم کے حساب کے لیے تکاملی 1 ہوتا ہے اور جواب ہمیشہ مثبت ہوتا ہے۔ علامتی روانی یا خالص قوت جیسی طبیعی مقداروں کے لیے، منفی قدریں ممکن اور بامعنی ہیں۔

Related Solvers

تکامل کیلکولیٹرمشتق کیلکولیٹرسلسلہ کیلکولیٹر
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving