AI Math
ایپ کھولیں

سلسلہ کیلکولیٹر

مرحلہ وار حل کے ساتھ یکجائی کا تجزیہ کریں، مجموعے نکالیں اور ٹیلر/میکلورن سلسلے پھیلائیں

گھسیٹ کر چھوڑیں یا کلک کریں تصاویر یا PDF شامل کرنے کے لیے

∑Math Input
sum of 1/n^2 from n=1 to infinity
does sum of (-1)^n / n converge?
Taylor series of sin(x) at x = 0
sum of (2/3)^n from n=0 to infinity

سلسلہ کیا ہے؟

ایک سلسلہ کسی ترتیب کے اجزا کا مجموعہ ہے۔ ایک لامحدود سلسلہ یہ شکل لیتا ہے:

∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

جزوی مجموعے SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n ہیں۔ اگر جزوی مجموعوں کی ترتیب کسی محدود حد SS کی طرف یکجا ہو، تو ہم کہتے ہیں سلسلہ یکجا ہوتا ہے اور ∑n=1∞an=S\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S۔ ورنہ، سلسلہ منتشر ہوتا ہے۔

ہندسی سلسلہ: سلسلہ ∑n=0∞arn\sum_{n=0}^{\infty} ar^n، ∣r∣<1|r| < 1 ہونے پر a1−r\frac{a}{1-r} کی طرف یکجا ہوتا ہے۔

p-سلسلہ: سلسلہ ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}، p>1p > 1 ہونے پر یکجا اور p≤1p \leq 1 ہونے پر منتشر ہوتا ہے۔

طاقتی سلسلہ: ∑n=0∞cn(x−a)n\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n شکل کا سلسلہ جو اپنے یکجائی نصف قطر کے اندر کسی فنکشن کی نمائندگی کرتا ہے۔

ٹیلر سلسلہ: f(x)f(x) کا x=ax = a کے گرد طاقتی سلسلہ پھیلاؤ:

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

جب a=0a = 0، تو اسے میکلورن سلسلہ کہا جاتا ہے۔

یکجائی کیسے طے کریں

انتشار آزمائش (nواں جزو آزمائش)

اگر lim⁡n→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0، تو سلسلہ منتشر ہوتا ہے۔ نوٹ: اگر حد 0 ہو، تو آزمائش غیر فیصلہ کن ہے۔

نسبت آزمائش

L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| نکالیں:

  • اگر L<1L < 1: مطلق طور پر یکجا
  • اگر L>1L > 1: منتشر
  • اگر L=1L = 1: غیر فیصلہ کن

جذر آزمائش

L=lim⁡n→∞∣an∣nL = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} نکالیں۔ نسبت آزمائش جیسے ہی نتیجہ کے قواعد۔

تکامل آزمائش

اگر f(n)=anf(n) = a_n جہاں ff مثبت، مسلسل، اور x≥1x \geq 1 کے لیے گھٹتا ہو:
∑n=1∞an converges  ⟺  ∫1∞f(x) dx converges\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converges} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ converges}

موازنہ آزمائش

اگر ہر nn کے لیے 0≤an≤bn0 \leq a_n \leq b_n:

  • اگر ∑bn\sum b_n یکجا ہو، تو ∑an\sum a_n یکجا ہوتا ہے
  • اگر ∑an\sum a_n منتشر ہو، تو ∑bn\sum b_n منتشر ہوتا ہے

متناوب سلسلہ آزمائش (لائبنز آزمائش)

متناوب سلسلہ ∑(−1)nbn\sum (-1)^n b_n یکجا ہوتا ہے اگر:

  1. ہر nn کے لیے bn>0b_n > 0
  2. bnb_n گھٹتا ہو
  3. lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0

عام ٹیلر/میکلورن سلسلے

فنکشنمیکلورن سلسلہنصف قطر
exe^x∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}∞\infty
sin⁡x\sin x∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}∞\infty
cos⁡x\cos x∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}∞\infty
11−x\frac{1}{1-x}∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x^n11
ln⁡(1+x)\ln(1+x)∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}11

درست آزمائش کا انتخاب

آزمائشبہترین برائےاہم اشارہ
انتشارتیز اخراجاجزا واضح طور پر 0 کے قریب نہیں
نسبتعاملیہ، اسی نوعیاجزا میں n!n! یا rnr^n
جذرnویں طاقتیںan=[f(n)]na_n = [f(n)]^n
تکاملسادہ گھٹتے فنکشنزan=f(n)a_n = f(n) آسانی سے تکامل ہو
موازنہاجزا معلوم سلسلوں جیسے ہوںp-سلسلہ یا ہندسی جیسا لگے
متناوبعلامت متناوب سلسلے(−1)n(-1)^n عامل

بچنے کے لیے عام غلطیاں

  • انتشار آزمائش کا غلط استعمال: اگر lim⁡an=0\lim a_n = 0، تو یہ یکجائی ثابت نہیں کرتا۔ ہم آہنگ سلسلہ ∑1/n\sum 1/n منتشر ہوتا ہے حالانکہ 1/n→01/n \to 0۔
  • L = 1 ہونے پر نسبت آزمائش لاگو کرنا: جب نسبت کی حد 1 کے برابر ہو، تو آزمائش کوئی معلومات نہیں دیتی۔ آپ کو مختلف آزمائش استعمال کرنی ہوگی۔
  • مطلق اور مشروط یکجائی کی الجھن: ایک سلسلہ مشروط طور پر یکجا ہو سکتا ہے (متناوب ہم آہنگ سلسلے کی طرح) بغیر مطلق طور پر یکجا ہوئے۔
  • غلط یکجائی نصف قطر: یکجائی وقفہ نکالتے وقت نقطہ ہائے اختتام کو الگ سے جانچنا نہ بھولیں۔
  • ٹیلر سلسلہ بقیہ: ٹیلر کثیر رقمی صرف ایک تخمینہ ہے؛ محدود اجزا کے لیے، ایک بقیہ جزو ہوتا ہے جس کی حد درستگی کے لیے اہم ہے۔

Examples

Step 1: نسبت آزمائش لاگو کریں: an+1an=(n+1)/2n+1n/2n=n+12n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}
Step 2: L=lim⁡n→∞n+12n=12<1L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1، لہٰذا سلسلہ یکجا ہوتا ہے
Step 3: مجموعہ نکالنے کے لیے، x=12x = \frac{1}{2} کے ساتھ فارمولا ∑n=1∞nxn=x(1−x)2\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2} استعمال کریں: 1/2(1/2)2=2\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2
Answer: 22

Step 1: ہندسی سلسلے سے شروع کریں: ∣t∣<1|t| < 1 کے لیے 11−t=∑n=0∞tn\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n
Step 2: t=−x2t = -x^2 تبدیل کریں: 11+x2=11−(−x2)=∑n=0∞(−x2)n\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n
Step 3: سادہ کریں: ∣x∣<1|x| < 1 کے لیے ∑n=0∞(−1)nx2n=1−x2+x4−x6+⋯\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots
Answer: ∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}، ∣x∣<1|x| < 1 کے لیے درست

Step 1: یہ bn=1nb_n = \frac{1}{\sqrt{n}} والا متناوب سلسلہ ہے
Step 2: جانچیں: bn>0b_n > 0 ✓، bnb_n گھٹتا ہے ✓، lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0 ✓
Step 3: متناوب سلسلہ آزمائش کے مطابق، سلسلہ یکجا ہوتا ہے (مشروط طور پر، کیونکہ ∑1n\sum \frac{1}{\sqrt{n}}، p=1/2<1p = 1/2 < 1 والے p-سلسلے کے طور پر منتشر ہوتا ہے)
Answer: سلسلہ مشروط طور پر یکجا ہوتا ہے

Frequently Asked Questions

ایک سلسلہ یکجا ہوتا ہے اگر اس کے جزوی مجموعے زیادہ اجزا جوڑنے پر کسی محدود عدد کے قریب پہنچیں۔ ایک سلسلہ منتشر ہوتا ہے اگر جزوی مجموعے بلا حد بڑھیں یا کسی قدر پر ٹھہرے بغیر تذبذب کریں۔

ٹیلر سلسلے پیچیدہ فنکشنز کا کثیر رقمیوں سے تخمینہ لگانے کے لیے استعمال ہوتے ہیں، انہیں حساب لگانے، تفرق کرنے یا تکامل کرنے میں آسان بناتے ہیں۔ یہ کسی مخصوص نقطے کے قریب فنکشنز کا تخمینہ لگانے کے لیے طبیعیات، انجینئرنگ، اور عددی تجزیے میں بنیادی ہیں۔

یکجائی نصف قطر R طاقتی سلسلے کے مرکز سے وہ فاصلہ ہے جس کے اندر سلسلہ یکجا ہوتا ہے۔ |x - a| < R کے لیے سلسلہ مطلق طور پر یکجا ہوتا ہے، |x - a| > R کے لیے یہ منتشر ہوتا ہے، اور |x - a| = R پر آپ کو نقطہ ہائے اختتام انفرادی طور پر جانچنے ہوں گے۔

نہیں۔ ہم آہنگ سلسلہ، جو n=1 سے لامحدودیت تک 1/n کا مجموعہ ہے، منتشر ہوتا ہے۔ حالانکہ اجزا صفر کے قریب پہنچتے ہیں، وہ اتنی تیزی سے نہیں گھٹتے کہ مجموعہ محدود رہے۔ یہ ایک کلاسک مثال ہے جو دکھاتی ہے کہ اجزا کا صفر کی طرف جانا یکجائی کے لیے ضروری ہے لیکن کافی نہیں۔

Related Solvers

مشتق کیلکولیٹرتکامل کیلکولیٹرحد کیلکولیٹرتفاضلی مساوات حل کرنے والا
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving