ٹیلر سلسلہ کیلکولیٹر

ایک ٹیلر سلسلہ کسی فنکشن کو ایک واحد نقطے $a$ پر فنکشن کے مشتقات سے بنی ایک لامحدود کثیر رقمی کے طور پر ظاہر کرتا ہے:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

جب $a = 0$، تو سلسلے کو میکلورن سلسلہ کہا جاتا ہے:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

یہ کیوں اہم ہے: ٹیلر سلسلے ممکنہ طور پر مشکل فنکشنز ($\sin x$، $e^x$، $\ln x$، $\sqrt{1 + x}$) پر حساب کو کثیر رقمیوں پر حساب میں بدل دیتے ہیں، جنہیں کمپیوٹر اور انسان سنبھال سکتے ہیں۔ یہ عددی طریقوں، غیر متناہی پھیلاؤ، اور تخمینہ نظریہ کی بنیاد ہیں۔

درجہ $n$ کا ٹیلر کثیر رقمی وہ جزوی مجموعہ ہے جو $(x-a)^n$ تک اجزا رکھتا ہے۔ یہ ایک درست معنی میں $a$ کے قریب $f$ کا بہترین کثیر رقمی تخمینہ ہے (قدر اور پہلے $n$ مشتقات سے مطابق)۔

قدم 1: پھیلاؤ نقطے پر مشتقات نکالیں

$f(x)$ اور پھیلاؤ نقطہ $a$ کے لیے، $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$ نکالیں۔

قدم 2: فارمولا میں رکھیں

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

یاد کرنے کے لیے عام میکلورن سلسلے

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

یکجائی نصف قطر

ایک ٹیلر سلسلہ صرف $a$ کے گرد ایک یکجائی نصف قطر $R$ کے اندر یکجا ہوتا ہے۔ اسے نسبت آزمائش کا استعمال کرتے ہوئے نکالیں:

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

اس نصف قطر سے باہر، سلسلہ منتشر ہوتا ہے اور فنکشن کی نمائندگی نہیں کرتا۔ اندر، یکجائی عام طور پر مدمج ذیلی سیٹوں پر یکساں ہوتی ہے۔

معلوم سلسلوں کا انتظام

رفتار کے لیے، صفر سے مشتقات نکالنے کے بجائے معلوم سلسلوں کو تبدیل، تفرق، یا تکامل کریں:

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$ ($e^x$ میں $-x^2$ تبدیل کریں)
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• عاملیہ بھولنا: $n$واں جزو $\frac{1}{n!}$ رکھتا ہے، صرف مشتق نہیں۔ اسے چھوڑنا انتہائی غلط جواب دیتا ہے۔
• سلسلے کو اس کے یکجائی نصف قطر سے باہر استعمال کرنا: $\frac{1}{1-x}$، $|x| > 1$ ہونے پر $\sum x^n$ کے برابر نہیں ہوتا — وہاں سلسلہ منتشر ہوتا ہے۔
• $a$ پر مرکز بنانا بھولنا: $a$ کے گرد ٹیلر سلسلہ $(x-a)$ کی طاقتیں استعمال کرتا ہے، نہ کہ $x$۔
• درجے اور اجزا کی تعداد کی الجھن: درجہ-$n$ ٹیلر کثیر رقمی کے $n+1$ اجزا ہوتے ہیں (درجہ $0$ سے $n$ تک)۔
• تبدیلی علامت کی غلطیاں: $\sin(-x) = -\sin(x)$، لہٰذا $\sin(-x)$ کے سلسلے کی متناوب علامتیں $\sin(x)$ کے مقابلے میں پلٹی ہوتی ہیں۔