จงแก้ระบบสมการ 100a + 10b + c = 5.9, 400a + 20b + c = 8.4, 900a + 30b + c = 10.4 หา a, b และ c

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตโครงสร้างก่อนลงมือคำนวณ สัมประสิทธิ์คือ $x^{2}$, $x$, $1$ ที่ $x=10,20,30$ ระบบนี้จึงคือการ "ฟิต $y=ax^{2}+bx+c$ ให้ผ่าน $(10,5.9)$, $(20,8.4)$, $(30,10.4)$" นั่นเอง เนื่องจาก $c$ ปรากฏด้วยสัมประสิทธิ์ $1$ ในทั้งสามสมการ การลบสมการที่ติดกันเป็นคู่ ๆ จึงกำจัดมันได้ทันที

2. 2

   ลบสมการที่ 1 ออกจากสมการที่ 2

   $(400-100)a+(20-10)b=8.4-5.9\;\Longrightarrow\;300a+10b=2.5\;\Longrightarrow\;30a+b=0.25.$

3. 3

   ลบสมการที่ 2 ออกจากสมการที่ 3

   $(900-400)a+(30-20)b=10.4-8.4\;\Longrightarrow\;500a+10b=2\;\Longrightarrow\;50a+b=0.2.$

   สมการที่ลดรูปแล้วสองสมการนี้ต่างกันแค่สัมประสิทธิ์ของ $a$ จึงลบอีกครั้งเดียวก็ได้ $a$

4. 4

   แก้หา $a$ แล้วต่อด้วย $b$ และ $c$

   $(50a+b)-(30a+b)=0.2-0.25\;\Longrightarrow\;20a=-0.05\;\Longrightarrow\;a=-0.0025.$

   แทนลงใน $30a+b=0.25$ ได้ $-0.075+b=0.25$ ดังนั้น $b=0.325$ แทนทั้งสองค่าลงในสมการแรกของโจทย์ได้ $-0.25+3.25+c=5.9$ ดังนั้น $c=2.9$

5. 5

   ตรวจทั้งสามสมการ เมื่อ $a=-0.0025$, $b=0.325$, $c=2.9$ จะได้ $100(-0.0025)+10(0.325)+2.9=-0.25+3.25+2.9=5.9$ ✓; $400(-0.0025)+20(0.325)+2.9=-1+6.5+2.9=8.4$ ✓; $900(-0.0025)+30(0.325)+2.9=-2.25+9.75+2.9=10.4$ ✓ การแก้ระบบเดียวกันด้วยกระบวนวิธีทางพีชคณิตเชิงเส้นก็ให้ $(-0.0025,\,0.325,\,2.9)$ เช่นกัน ค่า $a$ ที่ติดลบหมายความว่าพาราโบลาที่ฟิตได้หงายลง สอดคล้องกับข้อมูลที่เพิ่มขึ้น $2.5$ แล้วเพิ่มเพียง $2.0$