เหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ต่างมีความน่าจะเป็นอย่างละ 73 เปอร์เซ็นต์ ความน่าจะเป็นรวมมีค่าเท่าใด

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตว่าคำถามกำกวม แล้วบอกออกมาตรง ๆ คำว่า "รวม" อาจหมายถึงเกิด ทั้งสอง เหตุการณ์ หรือเกิด อย่างน้อยหนึ่ง เหตุการณ์ ซึ่งเป็นคนละตัวเลข และในที่นี้ห่างกันเกือบ $40$ จุดเปอร์เซ็นต์ จึงต้องตกลงการตีความให้ได้ก่อนจะคิดเลข สิ่งหนึ่งที่มันไม่เคยหมายถึงคือการเอามาบวกกัน เพราะ $73\%+73\%=146\%$ เป็นไปไม่ได้ ความน่าจะเป็นเกิน $1$ ไม่ได้

2. 2

   การตีความแบบที่ 1 — เกิดทั้งสองเหตุการณ์ สำหรับเหตุการณ์ อิสระ ให้คูณความน่าจะเป็นกัน

   $P(A\text{ และ }B)=P(A)\times P(B)=0.73\times0.73=0.5329=53.29\%$

   การเรียกร้องให้สองสิ่งเกิดพร้อมกันย่อม ยาก กว่าเกิดอย่างใดอย่างหนึ่ง คำตอบจึงต้องต่ำกว่า $73\%$ ✓

3. 3

   การตีความแบบที่ 2 — เกิดอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ ใช้เหตุการณ์คอมพลีเมนต์ "อย่างน้อยหนึ่ง" จะไม่เกิดก็ต่อเมื่อ ทั้งสอง ไม่เกิด และแต่ละเหตุการณ์ไม่เกิดด้วยความน่าจะเป็น $1-0.73=0.27$

   $P(\text{ไม่เกิดทั้งคู่})=0.27\times0.27=0.0729$

   $P(\text{อย่างน้อยหนึ่ง})=1-0.0729=0.9271=92.71\%$

   การเรียกร้องเพียงหนึ่งในสองโอกาสย่อม ง่าย กว่าเกิดอย่างใดอย่างหนึ่ง ค่านี้จึงต้องมากกว่า $73\%$ ✓

4. 4

   ตรวจคำตอบทั้งสองเทียบกัน ผลลัพธ์ที่ไม่เกิดร่วมกันทั้งสี่แบบต้องรวมได้ $1$ คือ เกิดทั้งคู่ $=0.5329$ เกิดเฉพาะเหตุการณ์แรก $=0.73\times0.27=0.1971$ เกิดเฉพาะเหตุการณ์ที่สอง $=0.1971$ และไม่เกิดเลย $=0.0729$ บวกกันได้ $0.5329+0.1971+0.1971+0.0729=1.0000$ ✓ ตรงนี้ยังบอกด้วยว่าเกิดเพียงหนึ่งเหตุการณ์พอดีมีความน่าจะเป็น $0.3942=39.42\%$

5. 5

   ชี้จุดที่ความเป็นอิสระมีความสำคัญ สูตรทั้งสองตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าเหตุการณ์ไม่ส่งอิทธิพลต่อกัน ถ้าทั้งสองสัมพันธ์กันอย่างสมบูรณ์ "เกิดทั้งคู่" จะเป็น $73\%$ และ "อย่างน้อยหนึ่ง" ก็เป็น $73\%$ เช่นกัน ถ้าไม่เกิดร่วมกันเลย "เกิดทั้งคู่" จะเป็น $0$ ความเป็นอิสระเป็นสมมติฐานที่ต้องระบุ ไม่ใช่ค่าตั้งต้นที่ถือเอาเอง

6. 6

   สรุปคำตอบทั้งสองแบบ เกิดทั้งสองเหตุการณ์: $\mathbf{53.29\%}$ เกิดอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์: $\mathbf{92.71\%}$ ตัวเลขทุกตัวข้างต้นคำนวณซ้ำแล้ว และตรวจแล้วว่าผลลัพธ์ทั้งสี่แบบรวมกันได้ $1$ พอดี ✓