ผู้ชาย 5% และผู้หญิง 0.25% เป็นคนตาบอดสี และประชากรมีชายกับหญิงอย่างละครึ่ง สุ่มเลือกคนมาหนึ่งคน (1) ความน่าจะเป็นที่คนนั้นตาบอดสีเป็นเท่าใด (2) เมื่อทราบว่าคนนั้นตาบอดสี ความน่าจะเป็นที่เขาเป็นผู้ชายเป็นเท่าใด

Step-by-step solution

1. 1

   ตั้งสัญลักษณ์และเขียนความน่าจะเป็นที่โจทย์ให้มา ให้ $M$ = ผู้ชาย, $W$ = ผู้หญิง, $B$ = ตาบอดสี ข้อมูลคือ

   $P(M)=P(W)=0.5,\qquad P(B\mid M)=0.05,\qquad P(B\mid W)=0.0025$

   สังเกตว่า $0.25\%=0.0025$ ไม่ใช่ $0.025$ การพลาดสิบเท่าตรงนี้จะเปลี่ยนคำตอบทั้งสองข้อ

2. 2

   (1) ใช้กฎความน่าจะเป็นรวม $M$ กับ $W$ แบ่งประชากรออกเป็นส่วน ๆ ที่ครอบคลุมทั้งหมด ดังนั้น

   $P(B)=P(M)P(B\mid M)+P(W)P(B\mid W)$

3. 3

   หาค่าข้อ (1)

   $P(B)=0.5(0.05)+0.5(0.0025)=0.025+0.00125=0.02625$

   ประชากรราว $2.6\%$ จึงตาบอดสี ซึ่งอยู่ระหว่างอัตราของผู้ชาย $5\%$ กับอัตราของผู้หญิง $0.25\%$ อย่างสมเหตุสมผล

4. 4

   (2) ใช้ทฤษฎีบทของเบส์ คำถามข้อนี้กลับทิศของการมีเงื่อนไข

   $P(M\mid B)=\frac{P(M)P(B\mid M)}{P(B)}=\frac{0.025}{0.02625}$

5. 5

   หาค่าข้อ (2) คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย $10000$ แล้วตัดทอน

   $\frac{250}{262.5}=\frac{2000}{2100}=\frac{20}{21}\approx 0.9524$

   $\boxed{P(B)=0.02625,\qquad P(M\mid B)=\tfrac{20}{21}\approx 0.952}$

6. 6

   ตรวจทานการกลับทิศ แม้ประชากรจะเป็นผู้ชายเพียงครึ่งเดียว แต่ $95\%$ ของคนตาบอดสีเป็นผู้ชาย เพราะอัตราของผู้ชายสูงเป็น $20$ เท่าของผู้หญิง ยืนยันด้วยส่วนเติมเต็ม: $P(W\mid B)=\tfrac{0.00125}{0.02625}=\tfrac{1}{21}$ และ $\tfrac{20}{21}+\tfrac{1}{21}=1$ ✓