จงแก้สมการ (1 + x) ยกกำลัง 12 ลบ 11.0528x เท่ากับ 1

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนใหม่ให้เป็นปัญหาการหาราก ย้าย $1$ ไปข้างซ้ายแล้วนิยาม $f(x)=(1+x)^{12}-11.0528x-1,$ เราจึงต้องการ $f(x)=0$ นี่คือรูปแบบของสมการเงินรายงวดหรือ IRR ตัวคูณสะสมตลอด $12$ งวด ตั้งเทียบกับ $11.0528$ เท่าของอัตรา

2. 2

   มองหารากที่เห็นได้ทันที $f(0)=1^{12}-0-1=0$ ดังนั้น $x=0$ เป็นคำตอบพอดี ซึ่งเป็นกรณีเสื่อมแบบ 'ดอกเบี้ยเป็นศูนย์' จึงคาดได้ว่าจะมีรากที่สองที่มีความหมายทางเศรษฐศาสตร์อีกตัวหนึ่ง

3. 3

   หาจุดวกกลับก่อนไล่ล่ารากที่สอง $f'(x)=12(1+x)^{11}-11.0528$ ซึ่งเป็นศูนย์เมื่อ $(1+x)^{11}=\tfrac{11.0528}{12}=0.921067$ นั่นคือ $x=0.921067^{1/11}-1\approx-0.0074469$ เนื่องจาก $f'$ เพิ่มขึ้นตาม $x$ จุดนี้จึงเป็นจุดต่ำสุดเพียงจุดเดียว โดยมี $f(-0.0074469)\approx-0.0034829<0$

4. 4

   สรุปว่ามีรากจริงพอดีสองตัว แล้วคร่อมรากอีกตัว $f$ ลดจาก $f(-1)=10.0528$ ลงถึงจุดต่ำสุด แล้วไต่กลับขึ้นมาที่ $f(0)=0$ ดังนั้นจึงมีรากหนึ่งตัวอยู่ทางซ้ายของจุดต่ำสุด ทดลองดู $f(-0.02)=+0.0057727$ และ $f(-0.01)=-0.0030871$ รากจึงอยู่ในช่วง $(-0.02,-0.01)$

5. 5

   แบ่งครึ่งช่วงจนได้ความละเอียดเต็มที่ การผ่าครึ่งช่วงคร่อมซ้ำ ๆ ให้ $x \approx -0.01508489,$ ซึ่ง $f(x)$ เป็นศูนย์ภายใน $10^{-16}$ ระวังอย่าหยุดใกล้ $x\approx-0.00745$ นั่นคือจุดต่ำสุดที่ $f=-0.0035\ne0$

6. 6

   ตรวจและตีความ $(1-0.01508489)^{12}=0.8332697$ และ $-11.0528(-0.01508489)=0.1667303$ ผลบวกคือ $1.000000$ ตรงกับข้างขวา คำตอบจริงทั้งสองคือ $x=0$ และ $x\approx-1.5085\%$ ต่องวด ไม่มีคำตอบที่อัตราเป็นบวก เพราะ $f>0$ สำหรับทุก $x>0$