จงแก้สมการ 120r = 10.1(1 − 1/(1 + r)^12) เพื่อหา r ซึ่งเป็นอัตราดอกเบี้ยของเงินกู้ 120 ที่ผ่อนคืน 12 งวด งวดละ 10.1

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตว่านี่คือสมการมูลค่าปัจจุบันของเงินรายงวด การหารทั้งสองข้างด้วย $r$ คืนรูปมาตรฐานกลับมา

   $120=10.1\cdot\frac{1-(1+r)^{-12}}{r},$

   นั่นคือ เงินต้น $=$ ค่างวด $\times$ ตัวประกอบเงินรายงวด โดย $n=12$ การมองเห็นเนื้อหาการเงินที่อยู่เบื้องหลังพีชคณิตให้เครื่องมือตรวจทานที่พีชคณิตล้วน ๆ ไม่มี

2. 2

   ประมาณคำตอบก่อนลงมือคำนวณ ยอดผ่อนรวมคือ $12\times10.1=121.20$ เทียบกับเงินต้น $120$ ผู้กู้จึงจ่ายดอกเบี้ยเพียง $1.20$ ตลอดสิบสองงวด หรือราว $1\%$ ของเงินต้นกระจายไปตลอดทั้งปีของงวด อัตราจึงต้องเป็นเศษเสี้ยวเล็ก ๆ ของ $1\%$ ต่องวด ไม่ใช่ใกล้ $1\%$ คำตอบใด ๆ ที่ใกล้ $0.9\%$ ปฏิเสธได้ทันที เพราะที่ $r=0.00893$ ตัวประกอบเงินรายงวดตีราคาเงินกู้ได้เพียง $114.45$ ไม่ใช่ $120$

3. 3

   ตั้งปัญหาการหาราก นิยาม

   $f(r)=120r-10.1\left(1-(1+r)^{-12}\right).$

   สังเกตว่า $f(0)=0$ เป็นรากที่ไม่มีความหมาย เพราะที่ดอกเบี้ยศูนย์ทั้งสองข้างเป็นศูนย์ รากที่มีความหมายจึงเป็นจุดเปลี่ยนเครื่องหมาย อีกจุดหนึ่ง เมื่อหาค่า: $f(0.001)=-0.000416$ และ $f(0.005)=+0.013244$ รากจึงอยู่ใน $(0.001,0.005)$

4. 4

   แบ่งครึ่งช่วงจนลู่เข้า การแบ่งครึ่งช่วงนั้นซ้ำ ๆ ให้

   $r=0.0015341499\ldots\approx0.0015341,$

   นั่นคือ $0.15341\%$ ต่องวด การกวาดตลอด $(-0.5,1)$ ไม่พบจุดเปลี่ยนเครื่องหมายอื่นอีก นี่จึงเป็นคำตอบเดียวที่มีความหมายทางเศรษฐศาสตร์

5. 5

   ตรวจผ่านตัวประกอบเงินรายงวด เมื่อ $r=0.0015341499$

   $\frac{1-(1+r)^{-12}}{r}=11.8811881,\qquad 10.1\times11.8811881=120.000000 ✓,$

   และก็เป็นจริงว่า $\frac{120}{10.1}=11.8811881$ ✓ ถ้างวดเป็นรายเดือน อัตรารายปีแบบระบุคือ $12r\approx1.84\%$ และอัตรารายปีที่แท้จริงคือ $(1+r)^{12}-1\approx1.857\%$