หุ้นกู้อายุ 3 ปี จ่ายคูปองปีละ 80 และคืนมูลค่าหน้าตั๋ว 1,000 เมื่อครบกำหนด ปัจจุบันซื้อขายที่ราคา 938 จงหาอัตราผลตอบแทนจนครบกำหนด y นั่นคือแก้สมการ 938 = 80/(1+y) + 80/(1+y)^2 + 1080/(1+y)^3

Step-by-step solution

1. 1

   อ่านสมการนี้ว่า "ราคา = มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสด" แต่ละพจน์คือการคิดลดเงินจ่ายหนึ่งก้อนกลับมาถึงวันนี้ด้วยอัตราเดียวกันคือ $y$ ที่ยังไม่รู้ค่า พจน์สุดท้ายเป็น $1080$ ไม่ใช่ $80$ เพราะปีที่ 3 ได้ทั้งคูปองงวดสุดท้าย และ มูลค่าหน้าตั๋ว $1{,}000$ คือ $80+1000=1080$ อัตราผลตอบแทนจนครบกำหนดก็คืออัตราคิดลดเดียวที่ทำให้มูลค่าปัจจุบันเท่ากับราคาที่เสนอพอดี

2. 2

   แทน $x=1+y$ แล้วกำจัดตัวส่วน เมื่อ $x=1+y$ สมการกลายเป็น

   $938=\frac{80}{x}+\frac{80}{x^2}+\frac{1080}{x^3}$

   คูณตลอดด้วย $x^3$ จะได้สมการกำลังสาม

   $938x^3-80x^2-80x-1080=0$

   ตรงนี้แสดงว่าทำไมจึงไม่มีสูตรสำเร็จสวย ๆ สำหรับสามงวดขึ้นไป อัตราผลตอบแทนเป็นรากของพหุนามดีกรี $\ge 3$ จึงต้องหาเชิงตัวเลข แต่การแทนค่ายังคุ้มที่จะทำ เพราะทำให้เห็นชัดว่าฟังก์ชัน ลดลง ตาม $x$ คือผลตอบแทนสูงขึ้นย่อมหมายถึงราคาต่ำลงเสมอ จึงมีรากที่มีความหมายทางเศรษฐศาสตร์เพียงรากเดียว

3. 3

   ตรึงจุดเริ่มค้นหาด้วยราคาที่มูลค่าหน้าตั๋ว ที่ $y=8\%$ (เท่ากับอัตราคูปอง) ราคาจะเป็น

   $\frac{80}{1.08}+\frac{80}{1.08^2}+\frac{1080}{1.08^3}=74.07+68.59+857.34=1000.00$

   คือเท่ากับมูลค่าหน้าตั๋วพอดี แต่หุ้นกู้จริงซื้อขายที่ $938<1000$ ซึ่งเป็นราคาส่วนลด ผลตอบแทนจึงต้อง สูงกว่า $8\%$ การตรวจเพียงจุดเดียวนี้บอกทิศทางการค้นหาก่อนจะเริ่มลองผิดลองถูก

4. 4

   คร่อมรากด้วยการลองสองค่า ลอง $y=10\%$ ($x=1.10$)

   $\frac{80}{1.10}+\frac{80}{1.21}+\frac{1080}{1.331}=72.7273+66.1157+811.4200=950.2630$

   ยังสูงกว่า $938$ ผลตอบแทนจึงสูงกว่านี้ ลอง $y=11\%$ ($x=1.11$)

   $\frac{80}{1.11}+\frac{80}{1.2321}+\frac{1080}{1.367631}=72.0721+64.9298+789.6867=926.6886$

   คราวนี้ต่ำกว่าแล้ว รากจึงถูกขังอยู่ระหว่าง $10\%$ กับ $11\%$

5. 5

   ประมาณเชิงเส้นแล้วปรับให้ละเอียด การประมาณเชิงเส้นระหว่างราคาสองค่าให้ค่าประมาณแรก

   $y\approx 0.10+0.01\cdot\frac{950.2630-938}{950.2630-926.6886}=0.10+0.01\cdot\frac{12.2630}{23.5744}=0.1052$

   ทำวิธีของนิวตันบน $f(x)=\frac{80}{x}+\frac{80}{x^2}+\frac{1080}{x^3}-938$ อีกหนึ่งถึงสองรอบก็ลงตัวที่

   $x=1.1051578\quad\Longrightarrow\quad y=0.1051578$

6. 6

   ตรวจคำตอบด้วยการคำนวณราคาใหม่ ที่ $y=10.51578\%$

   $\frac{80}{1.1051578}+\frac{80}{1.1051578^2}+\frac{1080}{1.1051578^3}=72.3879+65.5000+800.1121=938.00$

   ราคาถูกสร้างกลับมาได้ตรงถึงหลักสตางค์ ดังนั้น $y\approx 10.52\%$ สังเกตว่าการเดาแบบปัดเศษเช่น $10.3\%$ จะให้ราคาราว $943.1$ ซึ่งสูงเกินไปกว่าห้าดอลลาร์ นี่คือเหตุผลที่ขั้นตอนคร่อมรากสำคัญ อย่าหยุดที่ค่าประมาณแรกที่แค่ ดูเหมือน จะใกล้