จงหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของปริมาณ (sin x)/x ยกกำลัง 1/(cos x − 1)

Step-by-step solution

1. 1

   จำแนกรูปแบบยังไม่กำหนด เมื่อ $x \to 0$ ฐาน $\frac{\sin x}{x} \to 1$ ขณะที่เลขชี้กำลัง $\frac{1}{\cos x - 1} \to \pm\infty$ (เป็นลบ เพราะ $\cos x - 1 < 0$) นั่นคือรูปแบบ $1^{\infty}$ ซึ่งค่าของมันไม่ถูกกำหนดจริง ๆ — ออกมาเป็นอะไรก็ได้ จึงต้องแก้ ไม่ใช่เดา

2. 2

   ใส่ลอการิทึมเพื่อเปลี่ยนเลขยกกำลังให้เป็นผลหาร ให้ $L$ เป็นลิมิต จะได้

   $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right)}{\cos x - 1}$

   ตอนนี้เป็นลิมิต $0/0$ ธรรมดา ซึ่งการกระจายอนุกรมจัดการได้อย่างสะอาด

3. 3

   กระจายฐานถึงอันดับ x² จาก $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

   $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)$

   จากนั้นใช้ $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$ โดย $u = -\frac{x^2}{6}$

   $\ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x^2}{6} + O(x^4)$

   พจน์นำเป็นกำลังสอง ไม่ใช่เชิงเส้น — นี่คือเหตุผลที่ตัวส่วนต้องกระจายถึงอันดับ $x^2$ ด้วย

4. 4

   กระจายตัวส่วนถึงอันดับเดียวกัน จาก $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$

   $\cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$

5. 5

   หารแล้วยกกำลังกลับ ตัวประกอบ $x^2$ ตัดกันและเครื่องหมายก็ตัดกันด้วย

   $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2/6}{-x^2/2} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$

   ดังนั้น

   $L = e^{1/3} \approx 1.39561$

6. 6

   ยืนยันด้วยตัวเลข การหาค่านิพจน์เดิมที่ $x = 10^{-2}$ ให้ $1.3956179$ และที่ $x = 10^{-4}$ ให้ $1.3956124$ เทียบกับ $e^{1/3} = 1.3956124$ ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันคู่ $x < 0$ จึงให้ค่าเดียวกัน — ลิมิตสองข้างมีอยู่จริง