จงหาค่าลิมิตของ (sin 4x + cos 2x)/(4x − π) เมื่อ x เข้าใกล้ π/4

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจรูปแบบ ที่ $x=\frac{\pi}{4}$ ได้ $\sin\pi+\cos\frac{\pi}{2}=0+0=0$ ข้างบน และ $\pi-\pi=0$ ข้างล่าง รูปแบบจึงเป็น $\frac{0}{0}$

2. 2

   เลื่อนตัวแปรไปที่จุดกำเนิด ตั้ง $x=\frac{\pi}{4}+t$ โดย $t\to 0$ ตัวส่วนกลายเป็น $4t$ ซึ่งเป็นรูปที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะหารได้

3. 3

   เขียนตัวเศษใหม่ $\sin 4x=\sin(\pi+4t)=-\sin 4t$ และ $\cos 2x=\cos\left(\frac{\pi}{2}+2t\right)=-\sin 2t$ ตัวเศษจึงเป็น $-\sin 4t-\sin 2t$

4. 4

   หารด้วย $t$ ผลหารเท่ากับ $\frac{-\frac{\sin 4t}{t}-\frac{\sin 2t}{t}}{4}$ และโดยลิมิตมาตรฐาน $\frac{\sin kt}{t}\to k$ ตัวเศษลู่เข้าสู่ $-4-2=-6$

5. 5

   จบ ลิมิตคือ $\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$ การหาอนุพันธ์บนล่างหนึ่งครั้ง (โลปีตาล) ให้ $\frac{4\cos 4x-2\sin 2x}{4}\to\frac{-4-2}{4}$ ซึ่งเป็นค่าเดียวกัน

6. 6

   ตรวจด้วยตัวเลข ที่ $x=\frac{\pi}{4}+10^{-7}$ นิพจน์เดิมมีค่า $-1.5000000$ ซึ่งยืนยัน $-\frac{3}{2}$