จงหาค่าลิมิตของ (sin 3x − cos 2x)/(2x − π)² เมื่อ x เข้าใกล้ π/2

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจรูปแบบ ที่ $x=\frac{\pi}{2}$: $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$ และ $\cos\pi=-1$ ตัวเศษจึงเป็น $-1-(-1)=0$ และตัวส่วนก็เป็น $0$ ด้วย — รูปแบบเป็น $\frac{0}{0}$

2. 2

   เลื่อนตัวแปร ตั้ง $x=\frac{\pi}{2}+t$ โดย $t\to 0$ ตัวส่วนกลายเป็น $(2t)^2=4t^2$ ตัวเศษจึงต้องเป็นศูนย์ถึงอันดับสองเพื่อให้ลิมิตเป็นจำนวนจำกัด

3. 3

   เขียนตัวเศษใหม่ $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+3t\right)=-\cos 3t$ และ $\cos(\pi+2t)=-\cos 2t$ ตัวเศษจึงกลายเป็น $-\cos 3t+\cos 2t=\cos 2t-\cos 3t$

4. 4

   กระจายโคไซน์ทั้งสองถึงอันดับสอง $\cos 2t\approx 1-2t^2$ และ $\cos 3t\approx 1-\frac{9}{2}t^2$ ดังนั้น $\cos 2t-\cos 3t\approx\frac{9}{2}t^2-2t^2=\frac{5}{2}t^2$ พจน์ค่าคงตัวตัดกัน ตรงตามที่รูปแบบ $\frac{0}{0}$ เรียกร้อง

5. 5

   ประกอบเป็นอัตราส่วน $\frac{\frac{5}{2}t^2}{4t^2}=\frac{5}{8}$ ซึ่งไม่ขึ้นกับ $t$ ลิมิตจึงเป็น $\frac{5}{8}$

6. 6

   ตรวจด้วยตัวเลข ที่ $x=\frac{\pi}{2}+10^{-4}$ นิพจน์เดิมมีค่า $0.6249999932$ ซึ่งตรงกับ $\frac{5}{8}=0.625$