จงหาค่าลิมิตของ (sin 3x + x)/(x + sin 5x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุรูปแบบ ทั้ง $\sin 3x+x$ และ $x+\sin 5x$ เป็นศูนย์ที่ $x=0$ นี่จึงเป็น $\frac{0}{0}$

2. 2

   นึกถึงลิมิตหลัก $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k$ สำหรับค่าคงตัว $k$ ใด ๆ ซึ่งตามมาจาก $\frac{\sin kx}{x}=k\cdot\frac{\sin kx}{kx}$ และ $\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$

3. 3

   หารทั้งบนและล่างด้วย $x$ สำหรับ $x\neq 0$ ผลหารเท่ากับ $\frac{\frac{\sin 3x}{x}+1}{1+\frac{\sin 5x}{x}}$ การหารด้วย $x$ เป็นวิธีมาตรฐาน เพราะมันเปลี่ยนทุกพจน์ให้กลายเป็นลิมิตที่รู้ค่าอยู่แล้ว

4. 4

   หาลิมิตทีละพจน์ ตัวเศษลู่เข้าสู่ $3+1=4$ และตัวส่วนลู่เข้าสู่ $1+5=6$ ลิมิตทั้งสองมีอยู่จริงและลิมิตของตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ กฎผลหารของลิมิตจึงใช้ได้

5. 5

   คำนวณอัตราส่วน $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

6. 6

   ยืนยันด้วยตัวเลข ที่ $x=10^{-6}$ นิพจน์เดิมมีค่า $0.66666667$ ซึ่งตรงกับ $\frac{2}{3}$