จงหาค่าลิมิตของ n² คูณ (1 − cos(2/n)) เมื่อ n เข้าสู่อนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   ตั้งชื่อรูปแบบยังไม่กำหนด เมื่อ $n\to\infty$ จะได้ $n^2\to\infty$ ขณะที่ $1-\cos\frac{2}{n}\to 0$ ผลคูณจึงเป็นชนิด $\infty\cdot 0$ และต้องเขียนใหม่ก่อนจึงจะอ่านลิมิตออกได้

2. 2

   แทนตัวแปรที่หดลง ให้ $u=\frac{2}{n}$ ดังนั้น $n=\frac{2}{u}$ และ $u\to 0^+$ จะได้ $n^2\left(1-\cos\frac{2}{n}\right)=\frac{4}{u^2}\left(1-\cos u\right)=4\cdot\frac{1-\cos u}{u^2}$

3. 3

   นึกถึงลิมิตมาตรฐานคู่แฝด $\lim_{u\to 0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac{1}{2}$ ซึ่งได้จากเอกลักษณ์มุมครึ่ง $1-\cos u=2\sin^2\frac{u}{2}$ ร่วมกับ $\lim\frac{\sin t}{t}=1$

4. 4

   รวมชิ้นส่วนเข้าด้วยกัน ลิมิตคือ $4\cdot\frac{1}{2}=2$

5. 5

   ตรวจซ้ำด้วยอนุกรม เนื่องจาก $\cos u=1-\frac{u^2}{2}+O(u^4)$ จะได้ $1-\cos\frac{2}{n}\approx\frac{2}{n^2}$ และเมื่อคูณด้วย $n^2$ ก็เหลือ $2$

6. 6

   ตรวจด้วยตัวเลข ที่ $n=10^{5}$ นิพจน์มีค่า $1.99999999993$ ซึ่งยืนยันลิมิตนี้