จงหาค่าลิมิตของ √(x³ + 4x²)/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ถ้ามี

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจรูปแบบ ทั้งกรณฑ์และ $x$ ลู่เข้าสู่ $0$ ผลหารจึงเป็น $\frac{0}{0}$ และต้องจัดรูป

2. 2

   แยกตัวประกอบภายในกรณฑ์ $x^3+4x^2=x^2(x+4)$ ดังนั้น $\sqrt{x^3+4x^2}=\sqrt{x^2}\sqrt{x+4}$ เมื่อใดก็ตามที่ $x+4\ge 0$

3. 3

   จัดการรากที่สองให้ถูกต้อง ประเด็นสำคัญคือ $\sqrt{x^2}=|x|$ ไม่ใช่ $x$ การเขียน $\sqrt{x^2}=x$ คือความผิดพลาดที่ทำให้โจทย์ข้อนี้ดูเหมือนว่าคำตอบเป็น $2$

4. 4

   ลดรูปผลหาร $\frac{|x|\sqrt{x+4}}{x}=\operatorname{sgn}(x)\sqrt{x+4}$ เพราะ $\frac{|x|}{x}$ เป็น $+1$ เมื่อ $x>0$ และเป็น $-1$ เมื่อ $x<0$

5. 5

   หาลิมิตด้านเดียวทั้งสอง จากทางขวา $\lim_{x\to 0^+}=+\sqrt{4}=2$ จากทางซ้าย $\lim_{x\to 0^-}=-\sqrt{4}=-2$

6. 6

   สรุป ลิมิตด้านเดียวเป็นจำนวนจำกัดแต่ไม่เท่ากัน ลิมิตสองข้างจึงไม่มีอยู่จริง ฟังก์ชันมีการกระโดดขนาด $4$ ที่จุดกำเนิด