จงหาค่าลิมิตของ (4 − x²)/(2x² + x³) เมื่อ x เข้าใกล้ −2

Step-by-step solution

1. 1

   ทดลองแทนค่า ที่ $x=-2$ ตัวเศษเป็น $4-4=0$ และตัวส่วนเป็น $8-8=0$ รูปแบบจึงเป็น $\frac{0}{0}$ และต้องมีตัวประกอบร่วมอยู่

2. 2

   แยกตัวประกอบตัวเศษ ในฐานะผลต่างกำลังสอง $4-x^2=(2-x)(2+x)$ สังเกตลำดับด้วย การเขียนเป็น $-(x-2)(x+2)$ ให้ผลเท่ากันแต่พลาดเครื่องหมายได้ง่ายกว่า

3. 3

   แยกตัวประกอบตัวส่วน ดึง $x^2$ ที่เป็นตัวร่วมออกมา $2x^2+x^3=x^2(2+x)$

4. 4

   ตัดตัวประกอบร่วมทิ้ง สำหรับ $x\neq -2$ ผลหารเท่ากับ $\frac{(2-x)(2+x)}{x^2(2+x)}=\frac{2-x}{x^2}$ และตัวจุด $x=-2$ เองไม่เกี่ยวกับลิมิตเลย

5. 5

   แทนค่าลงในรูปที่ลดแล้ว $\frac{2-(-2)}{(-2)^2}=\frac{4}{4}=1$

6. 6

   ตีความผลลัพธ์ ฟังก์ชันเดิมมีความไม่ต่อเนื่องแบบถอดถอนได้ที่ $x=-2$ การเติมค่า $1$ ลงไปจะทำให้มันต่อเนื่องที่จุดนั้น