จงหาค่าลิมิตของ (√(3 + x) − √3)/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0

Step-by-step solution

1. 1

   ยืนยันรูปแบบยังไม่กำหนด ที่ $x=0$ ตัวเศษเป็น $\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$ และตัวส่วนเป็น $0$ ได้ $\frac{0}{0}$ การแทนค่าเพียงอย่างเดียวจึงจบงานไม่ได้

2. 2

   เลือกการทำให้เป็นตรรกยะแทนการแยกตัวประกอบ อุปสรรคคือผลต่างของรากที่สอง จึงคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุค $\sqrt{3+x}+\sqrt{3}$ วิธีนี้ใช้ $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ เพื่อกำจัดกรณฑ์ออกจากข้างบน

3. 3

   จัดรูปตัวเศษ $\left(\sqrt{3+x}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2=(3+x)-3=x$ ผลหารจึงกลายเป็น $\frac{x}{x\left(\sqrt{3+x}+\sqrt{3}\right)}$

4. 4

   ตัดตัวประกอบ $x$ ทิ้ง สำหรับ $x\neq 0$ ค่านี้เท่ากับ $\frac{1}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3}}$ และลิมิตพิจารณาเฉพาะค่าที่อยู่ใกล้ $0$ ไม่เคยพิจารณา $0$ เอง

5. 5

   แทน $x=0$ นิพจน์ที่ลดรูปแล้วต่อเนื่องที่นั่น ได้ $\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$ หลังทำตัวส่วนให้เป็นตรรกยะ

6. 6

   ตรวจด้วยตัวเลข ผลหารผลต่างที่ $x=10^{-8}$ ให้ $0.288675$ และ $\frac{\sqrt{3}}{6}=0.2886751$ — ตรงกันถึงทศนิยมหกตำแหน่ง