จงหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 2 ของ (รากที่สองของ (3x − 2) ลบ 2) หารด้วย (รากที่สองของ x ลบรากที่สองของ 2)

Step-by-step solution

1. 1

   ยืนยันรูปแบบยังไม่กำหนด ที่ $x=2$ ตัวเศษเป็น $\sqrt{6-2}-2 = 2-2 = 0$ และตัวส่วนเป็น $\sqrt2-\sqrt2 = 0$ จึงเป็น $\tfrac00$ และการแทนค่าตรง ๆ ล้มเหลว

2. 2

   แทน t = √x เพื่อให้ตัวส่วนเป็นเชิงเส้น ให้ $x=t^2$ และ $t\to\sqrt2$ $\lim_{t\to\sqrt2}\frac{\sqrt{3t^2-2}-2}{t-\sqrt2}.$ ตัวส่วนเชิงเส้นในรูป $t-c$ คือลายเซ็นของอนุพันธ์

3. 3

   มองเห็นผลหารผลต่าง ให้ $f(t)=\sqrt{3t^2-2}$ จะได้ $f(\sqrt2)=\sqrt{6-2}=2$ นิพจน์จึงเป็น $\frac{f(t)-f(\sqrt2)}{t-\sqrt2} \longrightarrow f'(\sqrt2).$ พอดี

4. 4

   หาอนุพันธ์ด้วยกฎลูกโซ่ $f'(t) = \frac{1}{2}(3t^2-2)^{-1/2}\cdot 6t = \frac{3t}{\sqrt{3t^2-2}}.$

5. 5

   หาค่าอนุพันธ์ที่ t = √2 $f'(\sqrt2) = \frac{3\sqrt2}{\sqrt{3\cdot2-2}} = \frac{3\sqrt2}{2} \approx 2.121320.$

6. 6

   ตรวจซ้ำด้วยการทำให้เป็นตรรกยะแทน การคูณด้วย $\dfrac{\sqrt{3x-2}+2}{\sqrt{3x-2}+2}\cdot\dfrac{\sqrt x+\sqrt2}{\sqrt x+\sqrt2}$ เปลี่ยนผลหารเป็น $\dfrac{3(x-2)}{x-2}\cdot\dfrac{\sqrt x+\sqrt2}{\sqrt{3x-2}+2}$ ซึ่งที่ $x=2$ ให้ $3\cdot\dfrac{2\sqrt2}{4} = \dfrac{3\sqrt2}{2}$ - ค่าเดียวกัน การหาค่านิพจน์เดิมที่ $x=2.000001$ ให้ $2.1213202$ ซึ่งยืนยันในเชิงตัวเลข