จงหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 2 ของ (4x² + 7x − 2)/(3x² + 8x + 2)

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจตัวส่วนที่จุดเป้าหมายก่อนอย่างอื่นทั้งหมด ฟังก์ชันตรรกยะต่อเนื่องทุกที่ที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ ซึ่งในกรณีนั้นลิมิตก็คือค่าของฟังก์ชันนั่นเอง คำถามแรกจึงเป็นว่า $3x^2+8x+2$ เป็นศูนย์ที่ $x=2$ หรือไม่

2. 2

   หาค่าตัวส่วน $3(2)^2+8(2)+2 = 12+16+2 = 30 \neq 0.$ เมื่อไม่เป็นศูนย์ ก็ไม่มีรูปแบบยังไม่กำหนด - ไม่ต้องแยกตัวประกอบ ไม่ต้องใช้สังยุค ไม่ต้องใช้โลปีตาล

3. 3

   หาค่าตัวเศษ $4(2)^2+7(2)-2 = 16+14-2 = 28.$

4. 4

   ประกอบเป็นผลหาร $\lim_{x\to2}\frac{4x^2+7x-2}{3x^2+8x+2} = \frac{28}{30}.$

5. 5

   ลดรูปเศษส่วน $28$ กับ $30$ มีตัวประกอบร่วมคือ $2$ ดังนั้น $\frac{28}{30} = \frac{14}{15} \approx 0.9\overline{3}.$ เนื่องจาก $14 = 2\cdot7$ และ $15 = 3\cdot5$ ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน นี่จึงเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้ว

6. 6

   จดไว้ว่าการแทนค่าจะล้มเหลวที่ใด รากของตัวส่วนคือ $x = \tfrac{-8\pm\sqrt{64-24}}{6} = \tfrac{-4\pm\sqrt{10}}{3} \approx -0.2792$ และ $-2.3874$ ที่จุดใดจุดหนึ่งในสองจุดนี้ ลิมิตจะต้องทำงานแยกต่างหาก ส่วนที่ $x=2$ ฟังก์ชันมีพฤติกรรมดีสมบูรณ์