จงหาค่าลิมิตของ (1 − x)/(√(5 − x²) − 2) เมื่อ x เข้าใกล้ 1

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจรูปแบบ ที่ $x=1$ ตัวเศษเป็น $0$ และตัวส่วนเป็น $\sqrt{4}-2=0$ นี่จึงเป็น $\frac{0}{0}$ และต้องใช้พีชคณิตช่วย

2. 2

   ทำตัวส่วนให้เป็นตรรกยะ ไม่ใช่ตัวเศษ คราวนี้กรณฑ์อยู่ข้างล่าง จึงคูณทั้งบนและล่างด้วย $\sqrt{5-x^2}+2$ ตัวส่วนจะกลายเป็น $\left(5-x^2\right)-4=1-x^2$

3. 3

   เขียนผลหารทั้งก้อนใหม่ นิพจน์ตอนนี้คือ $\frac{(1-x)\left(\sqrt{5-x^2}+2\right)}{1-x^2}$

4. 4

   แยกตัวประกอบแล้วตัดทิ้ง เนื่องจาก $1-x^2=(1-x)(1+x)$ ตัว $(1-x)$ ที่เป็นปัญหาจึงตัดกัน เหลือ $\frac{\sqrt{5-x^2}+2}{1+x}$ สำหรับทุก $x\neq 1$

5. 5

   แทน $x=1$ รูปที่ลดแล้วต่อเนื่องที่ $1$: $\frac{\sqrt{4}+2}{2}=\frac{4}{2}=2$

6. 6

   ยืนยันด้วยตัวเลข การหาค่าผลหารเดิมที่ $x=1+10^{-8}$ ให้ $2.0000$ ตรงกับผลทางพีชคณิตพอดี