จงหาลิมิตของ (−1)ⁿ / n เมื่อ n เข้าสู่อนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   แยกส่วนที่มีขอบเขตออกจากส่วนที่เป็นศูนย์ ตัวเศษ $(-1)^{n}$ ไม่มีลิมิตเลย มันสลับ $-1,1,-1,1,\dots$ ไปตลอด ส่วนตัวส่วน $n$ โตอย่างไม่มีขอบเขต ปริมาณที่มีขอบเขตหารด้วยปริมาณที่ลู่เข้าสู่อนันต์ย่อมลู่เข้าสู่ศูนย์ และนั่นคือข้อโต้แย้งทั้งหมดในรูปคำพูด

2. 2

   ใส่ค่าสัมบูรณ์เพื่อทำให้ข้อโต้แย้งแม่นยำ เนื่องจาก $\left|(-1)^{n}\right|=1$ สำหรับทุก $n$

   $\left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right|=\frac{1}{n}$

   การแกว่งหายไปทั้งหมดทันทีที่วัดขนาดแทนที่จะวัดเครื่องหมาย

3. 3

   บีบลำดับ สำหรับทุก $n\ge 1$

   $-\frac{1}{n}\le\frac{(-1)^{n}}{n}\le\frac{1}{n}$

   และขอบทั้งสองข้างลู่เข้าสู่ $0$ ลำดับที่ถูกขังไว้จึงลู่เข้าสู่ศูนย์ด้วย

4. 4

   ระบุลิมิต

   $\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}=0$

   ลำดับนี้ลู่เข้าแม้จะไม่เคยเข้าที่อยู่ข้างใดข้างหนึ่งของ $0$ เลย เพราะการลู่เข้าต้องการเพียงให้พจน์เข้าใกล้ค่าหนึ่ง ไม่ได้ต้องการให้เข้าใกล้จากทิศทางตายตัว

5. 5

   สังเกตความต่างจาก $(-1)^{n}$ เพียว ๆ ถ้าไม่มีตัวประกอบ $\tfrac1n$ ลำดับจะไม่มีลิมิต เพราะพจน์ของมันห่างกันอยู่ $2$ ตลอดไป ตัวประกอบที่ลู่เข้าสู่ศูนย์คือสิ่งที่กู้การลู่เข้าไว้ — และนั่นก็เป็นเหตุผลที่อนุกรมฮาร์มอนิกสลับ $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ ลู่เข้าตามการทดสอบอนุกรมสลับด้วย