จงหาลิมิตของ (1/i) × e^(ix) เมื่อ x เข้าสู่อนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   จัดรูปค่าคงตัว $\dfrac{1}{i}$ ก่อน คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย $i$ แล้วใช้ $i^{2}=-1$

   $\frac{1}{i}=\frac{i}{i^{2}}=\frac{i}{-1}=-i$

   นิพจน์จึงเป็น $-ie^{ix}$ การกำจัด $i$ ออกจากตัวส่วนแบบนี้คือคู่ขนานของการทำให้เป็นตรรกยะในโลกจำนวนเชิงซ้อน

2. 2

   กระจายด้วยสูตรออยเลอร์ เนื่องจาก $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

   $-i\left(\cos x+i\sin x\right)=-i\cos x-i^{2}\sin x=\sin x-i\cos x$

   ส่วนจริงคือ $\sin x$ และส่วนจินตภาพคือ $-\cos x$

3. 3

   ทดสอบว่าแต่ละส่วนมีลิมิตหรือไม่ ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนลู่เข้าก็ต่อเมื่อทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพลู่เข้าพร้อมกัน ที่นี่ $\sin x$ แกว่งระหว่าง $-1$ กับ $1$ ตลอดไป และ $\cos x$ ก็เช่นกัน ไม่มีส่วนใดมีลิมิตเมื่อ $x\to\infty$

4. 4

   สังเกตว่ามอดุลัสไม่ลดลงเลย เนื่องจาก $\left|e^{ix}\right|=1$ และ $\left|-i\right|=1$

   $\left|\frac{1}{i}e^{ix}\right|=1\quad\text{สำหรับทุก }x$

   จุดนั้นไม่เคยหมุนวนเข้าด้านใน มันวิ่งรอบวงกลมหนึ่งหน่วยด้วยอัตราเร็วคงที่ และกลับมาที่เดิมทุก ๆ $2\pi$

5. 5

   สรุปว่าลิมิตไม่มีอยู่จริง ลำดับย่อยสองลำดับเข้าที่คนละค่า — ที่ $x=2\pi n$ นิพจน์เป็น $-i$ ขณะที่ที่ $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n$ เป็น $1$ ถ้าลิมิตมีอยู่จะบังคับให้สองค่านี้เท่ากัน ดังนั้น

   $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{i}e^{ix}\ \text{ไม่มีอยู่จริง}$