จงหาลิมิตของ (1 + 1/x)^(x² / eˣ) เมื่อ x เข้าใกล้ 0

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจก่อนว่านิพจน์นิยามที่ใดบ้าง สำหรับ $x<0$ ที่มีค่าน้อย ฐาน $1+\tfrac1x$ เป็นลบ (ที่ $x=-0.1$ มีค่า $-9$) และฐานที่เป็นลบยกกำลังจำนวนจริงใด ๆ ไม่นิยามบนจำนวนจริง ดังนั้นจึงพูดถึงได้แต่ลิมิตทางขวาเท่านั้น และคำตอบต้องกำกับว่าเป็น $x\to 0^{+}$

2. 2

   ระบุรูปแบบยังไม่กำหนด เมื่อ $x\to 0^{+}$

   $1+\frac1x\to+\infty,\qquad \frac{x^2}{e^x}\to\frac{0}{1}=0$

   นี่คือ $\infty^{0}$ ซึ่งยังไม่กำหนดจริง ๆ เพราะออกมาเป็นจำนวนบวกใดก็ได้ ขึ้นกับว่าแต่ละส่วนเคลื่อนที่เร็วแค่ไหน

3. 3

   ใส่ลอการิทึมเพื่อเปลี่ยนเลขยกกำลังให้เป็นผลคูณ ตั้ง $L=\left(1+\tfrac1x\right)^{x^2/e^x}$

   $\ln L=\frac{x^2}{e^x}\ln\left(1+\frac1x\right)$

   ลอการิทึมเป็นเครื่องมือมาตรฐานสำหรับรูปแบบ $\infty^{0}$, $0^{0}$ หรือ $1^{\infty}$ ทุกแบบ มันเปลี่ยนการแข่งขันระหว่างฐานกับเลขชี้กำลังให้เป็นผลคูณธรรมดา

4. 4

   ประมาณค่าลอการิทึม สำหรับ $x$ บวกที่มีค่าน้อย $1+\tfrac1x\sim\tfrac1x$ ดังนั้น $\ln\left(1+\tfrac1x\right)\sim-\ln x$ และเนื่องจาก $e^x\to 1$ ผลคูณทั้งก้อนจึงมีพฤติกรรมเหมือน

   $\ln L\sim x^2\ln\frac1x$

5. 5

   ใช้ลิมิตมาตรฐาน $x^{a}\ln x\to 0$ กำลังบวกใด ๆ ของ $x$ ชนะลอการิทึมเสมอ

   $\lim_{x\to 0^{+}}x^2\ln\frac1x=0\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to 0^{+}}\ln L=0$

6. 6

   ยกกำลังกลับ เนื่องจาก $\ln L\to 0$ และ $\exp$ ต่อเนื่อง

   $\lim_{x\to 0^{+}}L=e^{0}=1$

   ในเชิงตัวเลข ที่ $x=0.01$ ค่าเป็น $1.000457$ และที่ $x=10^{-5}$ เป็น $1.0000000012$ — ลู่เข้าสู่ $1$ ✓ ลิมิตสองข้างไม่มีอยู่จริง เพราะฟังก์ชันไม่นิยามทางซ้ายของ $0$