จงระบุรูปแบบยังไม่กำหนดของลิมิตของ ln x / √x เมื่อ x เข้าสู่อนันต์ แล้วใช้กฎของโลปีตาลหาค่าลิมิต

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุรูปแบบยังไม่กำหนด เมื่อ $x\to+\infty$ ทั้ง $\ln x \to +\infty$ และ $\sqrt{x} \to +\infty$ ผลหารจึงมีรูปแบบ $\dfrac{\infty}{\infty}$ ซึ่งเป็นหนึ่งในสองรูปแบบที่กฎของโลปีตาลจัดการได้โดยตรง

2. 2

   หาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน กฎของโลปีตาลแทน $\dfrac{f}{g}$ ด้วย $\dfrac{f'}{g'}$ — นี่ไม่ใช่กฎผลหาร และการสับสนสองอย่างนี้คือความผิดพลาดคลาสสิก

   $f(x) = \ln x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}, \qquad g(x) = x^{1/2} \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. 3

   ประกอบผลหารตัวใหม่แล้วจัดรูป

   $\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})} = \frac{2\sqrt{x}}{x} = \frac{2}{\sqrt{x}}$

   การจัดรูปนี้คือสิ่งที่ทำให้กฎคุ้มค่า เพราะนิพจน์ใหม่ไม่ใช่รูปแบบยังไม่กำหนดอีกต่อไป

4. 4

   หาลิมิต

   $\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{x}} = 0$

   ลิมิตเดิมจึงเป็น $0$ ด้วย การใช้กฎครั้งเดียวก็เพียงพอ

5. 5

   ตีความผลลัพธ์ นี่คือข้อความมาตรฐานที่ว่าลอการิทึมโตช้ากว่ากำลังบวกใด ๆ ของ $x$ นั่นคือ $\ln x = o(x^{p})$ สำหรับทุก $p > 0$ ในที่นี้ $p = \tfrac12$ และข้อโต้แย้งเดียวกันใช้ได้กับ $p$ ทุกค่า

6. 6

   ตรวจด้วยตัวเลข ที่ $x = 10^4$: $\dfrac{\ln 10^4}{\sqrt{10^4}} = \dfrac{9.2103}{100} = 0.092103$ ที่ $x = 10^8$: $\dfrac{18.4207}{10^4} = 0.00184207$ ที่ $x = 10^{16}$: $\dfrac{36.8414}{10^8} = 3.68\times10^{-7}$ ✓ — ลดลงเข้าหา $0$ และการหาลิมิตเชิงสัญลักษณ์ให้ $0$ พอดี