จงระบุรูปแบบยังไม่กำหนดของลิมิตของ (eˣ + x)^(1/x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0 แล้วใช้กฎของโลปีตาลหาค่าลิมิต

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุรูปแบบยังไม่กำหนด เมื่อ $x\to 0$ ฐาน $e^x + x \to 1$ และเลขชี้กำลัง $\tfrac{1}{x} \to \pm\infty$ รูปแบบจึงเป็น $1^{\infty}$ — ซึ่งยังไม่กำหนด เพราะฐานที่มากกว่า $1$ อยู่นิดเดียวเมื่อยกกำลังมหาศาลอาจลู่เข้าสู่ค่าใดก็ได้ ไม่ใช่ เท่ากับ $1$ ง่าย ๆ

2. 2

   ใส่ลอการิทึมเพื่อเปลี่ยนเลขยกกำลังให้เป็นผลหาร ให้ $L$ เป็นลิมิต และตั้ง $y = (e^x+x)^{1/x}$

   $\ln y = \frac{\ln(e^{x}+x)}{x}$

   เมื่อ $x\to 0$ ตัวเศษ $\to \ln 1 = 0$ และตัวส่วน $\to 0$ ตอนนี้จึงเป็น $\tfrac{0}{0}$ และใช้กฎของโลปีตาลได้

3. 3

   หาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วน ตัวเศษใช้กฎลูกโซ่

   $\frac{d}{dx}\ln(e^x+x) = \frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}, \qquad \frac{d}{dx}x = 1$

4. 4

   หาค่าผลหารตัวใหม่ที่ $x = 0$ ตอนนี้ไม่ใช่รูปแบบยังไม่กำหนดแล้ว

   $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x} = \frac{1+1}{1+0} = \frac{2}{1} = 2$

   ดังนั้น $\ln L = 2$

5. 5

   ถอดลอการิทึมกลับ ขั้นสุดท้ายนี้คือขั้นที่ถูกลืมบ่อยที่สุด ทำให้ตอบค้างไว้ที่ $2$

   $L = e^{2} \approx 7.389056$

6. 6

   ตรวจด้วยตัวเลขจากทั้งสองข้าง ที่ $x = 0.001$: $e^{0.001}+0.001 = 1.0020005$ และ $1.0020005^{1000} = 7.378$ ที่ $x = -0.001$: $e^{-0.001}-0.001 = 0.9980005$ และ $0.9980005^{-1000} = 7.400$ ทั้งสองค่าขนาบ $e^2 = 7.38906$ ไว้ ✓ และการหาลิมิตเชิงสัญลักษณ์ให้ $e^2$ พอดี