จงหาลิมิตของ (√(4 − x) − 3)/(x² + 7x + 10) เมื่อ x เข้าใกล้ −5

Step-by-step solution

1. 1

   ยืนยันรูปแบบยังไม่กำหนด ที่ $x=-5$ ตัวเศษเป็น $\sqrt{5+4}-3=\sqrt9-3=0$ และตัวส่วนเป็น $25-35+10=0$ ผลหารจึงเป็นชนิด $\tfrac00$ หมายความว่ามีตัวประกอบ $(x+5)$ หารทั้งสองส่วนลงตัว และต้องตัดทิ้งก่อนแทนค่า

2. 2

   แยกตัวประกอบตัวส่วน จำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ $10$ และบวกกันได้ $7$ คือ $5$ กับ $2$

   $x^{2}+7x+10=(x+5)(x+2)$

   ตอนนี้ตัวประกอบ $(x+5)$ ปรากฏชัด งานที่เหลือคือสร้างตัวคู่ของมันขึ้นมาข้างบน

3. 3

   คูณด้วยสังยุคของตัวเศษ ใช้ $\left(\sqrt{u}-3\right)\left(\sqrt{u}+3\right)=u-9$ โดย $u=4-x$

   $\left(\sqrt{4-x}-3\right)\left(\sqrt{4-x}+3\right)=(4-x)-9=-x-5=-(x+5)$

   กรณฑ์หายไปและ $(x+5)$ ที่หวังไว้ก็ปรากฏ — พร้อมเครื่องหมายลบที่ต้องพกติดตัวไปด้วย

4. 4

   ตัดทิ้งแล้วจัดรูป ผลหารกลายเป็น

   $\frac{-(x+5)}{(x+5)(x+2)\left(\sqrt{4-x}+3\right)}=\frac{-1}{(x+2)\left(\sqrt{4-x}+3\right)}$

   ซึ่งใช้ได้สำหรับ $x\neq-5$ อันเป็นย่านเจาะรูที่ลิมิตพิจารณาพอดี รูปนี้ได้ตรวจเทียบกับรูปเดิมที่ $x=-6,-5.1,-4.9,-4$ ตรงกันถึงระดับ $10^{-8}$ ✓

5. 5

   แทนค่าลงในนิพจน์ที่จัดรูปแล้ว มันต่อเนื่องที่ $x=-5$

   $\frac{-1}{(-5+2)\left(\sqrt{9}+3\right)}=\frac{-1}{(-3)(6)}=\frac{1}{18}$

   จำนวนลบสองตัวตัดกัน ลิมิตจึงเป็นบวก

6. 6

   ตรวจด้วยตัวเลข ที่ $x=-5\pm10^{-5}$ ผลหารเดิมมีค่า $0.05555576$ และ $0.05555535$ ซึ่งขนาบ $\tfrac1{18}=0.0555556$ ไว้ ✓ ลิมิตด้านเดียวทั้งสองตรงกัน ลิมิตจึงมีอยู่และเท่ากับ $\tfrac{1}{18}$