จงหาลิมิตเมื่อ n เข้าสู่อนันต์ของ (3n² − 4n + 9)/(n² + 32n + 48) ลบด้วยรากที่สองของ (n² + n + 18)

Step-by-step solution

1. 1

   แยกนิพจน์ออกแล้วศึกษาทีละส่วน สองส่วนนี้มีพฤติกรรมต่างกันโดยสิ้นเชิง จึงไม่มีรูปแบบยังไม่กำหนดให้ต้องแก้ที่นี่ - กลเม็ดอยู่ที่การมองเห็นข้อนี้ตั้งแต่ต้น แทนที่จะรีบคว้าโลปีตาลหรือกลเม็ดสังยุค

2. 2

   หาลิมิตของพจน์ตรรกยะ หารตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุด $n^2$ $\frac{3n^2-4n+9}{n^2+32n+48} = \frac{3-\tfrac4n+\tfrac{9}{n^2}}{1+\tfrac{32}{n}+\tfrac{48}{n^2}} \longrightarrow \frac{3}{1} = 3.$ ดีกรีบนกับล่างเท่ากันหมายความว่าลิมิตคืออัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

3. 3

   หาพฤติกรรมของรากที่สอง ดึง $n^2$ ออกมาจากใต้กรณฑ์ $\sqrt{n^2+n+18} = n\sqrt{1+\tfrac1n+\tfrac{18}{n^2}} \sim n \cdot 1 = n \to +\infty,$ โดยใช้ $|n|=n$ เพราะ $n\to+\infty$ พูดให้แม่นยำขึ้นคือมันเท่ากับ $n+\tfrac12+O(1/n)$

4. 4

   รวมพฤติกรรมทั้งสองเข้าด้วยกัน นิพจน์คือ (สิ่งที่ลู่เข้าสู่ $3$) ลบด้วย (สิ่งที่ลู่เข้าสู่ $+\infty$) ปริมาณที่มีขอบเขตลบด้วยปริมาณที่ไม่มีขอบเขตย่อมไม่มีขอบเขตล่าง $3-(+\infty) = -\infty.$ นี่เป็นรูปแบบที่กำหนดค่าได้ ไม่ใช่รูปแบบยังไม่กำหนด

5. 5

   ยืนยันด้วยตัวเลข ที่ $n=10^6$ พจน์ตรรกยะเป็น $2.99990$ และรากเป็น $1{,}000{,}000.5000$ ผลต่างจึงราว $-999{,}997.5$ - ซึ่งวิ่งตาม $-n$ ตามที่ทำนายไว้แล้ว

6. 6

   สรุป $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2-4n+9}{n^2+32n+48}-\sqrt{n^2+n+18}\right) = -\infty,$ และในเชิงเส้นกำกับ นิพจน์มีพฤติกรรมเหมือน $-n+2.5$