จงหาค่าลิมิตของ (2x² + x − 3)/|x − 1| เมื่อ x เข้าใกล้ 1 หรือแสดงว่าลิมิตไม่มีอยู่จริง

Step-by-step solution

1. 1

   ยืนยันรูปแบบยังไม่กำหนด ที่ $x=1$ ตัวเศษเป็น $2+1-3=0$ และตัวส่วนเป็น $|0|=0$ นิพจน์จึงเป็น $\tfrac00$ และการแทนค่าไม่ให้อะไรเลย ต่างจากตัวเศษเดียวกันที่หาค่าที่ $x=-2$ ตรงนี้จุดที่เข้าใกล้เป็นศูนย์ของค่าสัมบูรณ์พอดี คำตอบจึงต่างออกไปในเชิงคุณภาพ

2. 2

   แยกตัวประกอบตัวเศษด้วยการแตกพจน์กลาง สำหรับ $2x^{2}+x-3$ ให้หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ $2\times(-3)=-6$ และบวกกันได้ $1$ ซึ่งก็คือ $3$ กับ $-2$ จากนั้น

   $2x^{2}+3x-2x-3=x(2x+3)-1(2x+3)=(x-1)(2x+3).$

   ตัวประกอบ $(x-1)$ ตรงกับสิ่งที่อยู่ในค่าสัมบูรณ์พอดี ซึ่งเป็นเหตุผลที่ต้องวิเคราะห์แบบด้านเดียว

3. 3

   หาลิมิตทางซ้าย สำหรับ $x<1$ จะได้ $x-1<0$ ดังนั้น $|x-1|=-(x-1)$ และ

   $\frac{(x-1)(2x+3)}{-(x-1)}=-(2x+3)\ \longrightarrow\ -(2+3)=-5.$

   ดังนั้น $\displaystyle\lim_{x\to1^{-}}=-5$

4. 4

   หาลิมิตทางขวา สำหรับ $x>1$ จะได้ $x-1>0$ ดังนั้น $|x-1|=x-1$ และ

   $\frac{(x-1)(2x+3)}{x-1}=2x+3\ \longrightarrow\ 2+3=5.$

   ดังนั้น $\displaystyle\lim_{x\to1^{+}}=5$ สังเกตว่ารูปแบบเครื่องหมายเป็นภาพสะท้อนของกรณีก่อนหน้า คือข้างที่ตัวเศษเป็นบวกได้สลับที่กัน

5. 5

   สรุป เนื่องจาก $-5\ne5$ ลิมิตสองข้างจึงไม่มีอยู่จริง ฟังก์ชันมีการกระโดดสูง $10$ ที่ $x=1$ เทียบกับ $\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}$ ที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์และลิมิตเป็นเพียง $\tfrac33=1$ บทเรียนคือ ค่าสัมบูรณ์จะสร้างปัญหาก็ต่อเมื่ออาร์กิวเมนต์ของมันเป็นศูนย์ที่จุดที่กำลังพิจารณาเท่านั้น