จงหาค่าลิมิตของ (5x³ − 2x + 1)/(3x³ + 7) เมื่อ x เข้าสู่อนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   วินิจฉัยรูปแบบยังไม่กำหนด เมื่อ $x\to\infty$ ทั้งตัวเศษและตัวส่วนโตอย่างไม่มีขอบเขต ได้ $\tfrac{\infty}{\infty}$ ซึ่งไม่ใช่ค่า — มันบอกเพียงว่านิพจน์ต้องถูกเขียนใหม่ก่อนจึงจะอ่านลิมิตออกได้

2. 2

   หารตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดที่ปรากฏ ทั้งคู่เป็นกำลังสาม จึงหารทุกพจน์ด้วย $x^3$ (ทำได้เมื่อ $x$ มีค่ามาก ซึ่ง $x\neq 0$)

   $\frac{5x^{3}-2x+1}{3x^{3}+7}=\frac{5-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{3+\dfrac{7}{x^{3}}}.$

3. 3

   ส่งกำลังส่วนกลับแต่ละตัวไปที่ศูนย์ สำหรับ $k>0$ ใด ๆ จะได้ $\dfrac{1}{x^{k}}\to 0$ เมื่อ $x\to\infty$ พจน์เล็กทั้งสามจึงหายไป

   $\lim_{x\to\infty}\frac{5-0+0}{3+0}=\frac{5}{3}.$

4. 4

   ระบุกฎทั่วไปที่ข้อนี้แสดงให้เห็น สำหรับฟังก์ชันตรรกยะ ให้เทียบดีกรี ดีกรีเท่ากันให้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ (ในที่นี้คือ $\tfrac53$) ดีกรีตัวเศษน้อยกว่าให้ $0$ และดีกรีตัวเศษมากกว่าให้ $\pm\infty$ พจน์อันดับต่ำ $-2x$, $+1$ และ $+7$ ไม่มีผลต่อคำตอบเลย

5. 5

   ตรวจด้วยตัวเลข ที่ $x=10^{6}$ ผลหารเป็น

   $\frac{5\cdot 10^{18}-2\cdot 10^{6}+1}{3\cdot 10^{18}+7}=1.6666666\ldots,$

   ซึ่งตรงกับ $\tfrac53=1.6\overline{6}$ ถึงทศนิยมหลายตำแหน่ง