จงหาลิมิตเมื่อ n เข้าสู่อนันต์ของ (2n − n³)/(12 + n³) โดยตัวเลือกที่ให้มาคือ ไม่มีข้อใดถูก, 0, 5 และ 1

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุกำลังที่มีอิทธิพลสูงสุดของแต่ละข้าง ทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนามกำลังสามใน $n$ พจน์นำของตัวเศษคือ $-n^{3}$ และของตัวส่วนคือ $+n^{3}$ ดีกรีที่เท่ากันหมายความว่าลิมิตจะเป็นอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำเหล่านั้น

2. 2

   หารทุกพจน์ด้วย n^3 ขั้นนี้ทำให้ข้ออ้างข้างต้นแม่นยำแทนที่จะเป็นแค่การกล่าวลอย ๆ

   $\frac{2n-n^{3}}{12+n^{3}}=\frac{\dfrac{2}{n^{2}}-1}{\dfrac{12}{n^{3}}+1}.$

3. 3

   ส่งกำลังส่วนกลับไปที่ศูนย์ ทั้ง $\dfrac{2}{n^{2}}\to 0$ และ $\dfrac{12}{n^{3}}\to 0$ เหลือ

   $\lim_{n\to\infty}\frac{0-1}{0+1}=-1.$

4. 4

   ระวังเครื่องหมาย — นี่คือแก่นของข้อนี้ พจน์กำลังสามของตัวเศษเป็นลบ ลำดับจึงเข้าใกล้ $-1$ จากด้านล่าง และคำตอบเป็นจำนวนลบ การอ่าน $2n-n^{3}$ ราวกับว่า $n^3$ เป็นบวกคือสิ่งที่ทำให้ได้คำตอบชวนหลงอย่าง $1$

5. 5

   เทียบกับตัวเลือกที่ให้มา ค่าที่คำนวณได้คือ $-1$ ซึ่งไม่ใช่ $0$ ไม่ใช่ $5$ และไม่ใช่ $1$ คำตอบที่ถูกจึงเป็น ก. ไม่มีข้อใดถูก

6. 6

   ตรวจด้วยตัวเลขเป็นจุด ๆ ที่ $n=100$ ผลหารเป็น $\dfrac{200-1000000}{12+1000000}=-0.9998$ และที่ $n=1000$ เป็น $-0.999998$ — ลู่เข้าสู่ $-1$ อย่างชัดเจน