จงหาค่าลิมิตเมื่อ n เข้าสู่อนันต์ของ (2ⁿ + (−7)ⁿ) หารด้วย (2ⁿ⁺¹ + (−7)ⁿ⁺¹)

Step-by-step solution

1. 1

   หาพจน์ที่มีอิทธิพลสูงสุดโดยเทียบค่าสัมบูรณ์ ฐานที่แข่งกันมีขนาด $|2|=2$ และ $|-7|=7$ เนื่องจาก $7>2$ พจน์ $(-7)^n$ จึงกลบพจน์ $2^n$ เมื่อ $n$ โตขึ้น — เครื่องหมายที่สลับไปมาไม่ได้เปลี่ยนว่าตัวไหนใหญ่กว่า

2. 2

   ดึงตัวประกอบหนึ่งตัวออกจากกำลังที่เลื่อนไป เขียนตัวส่วนใหม่ให้ทั้งสองพจน์มีเลขชี้กำลังตรงกับตัวเศษ

   $2^{n+1}=2\cdot 2^{n},\qquad (-7)^{n+1}=(-7)\cdot(-7)^{n}.$

3. 3

   หารตัวเศษและตัวส่วนด้วยพจน์ที่มีอิทธิพลสูงสุด ให้ $r=\dfrac{2}{-7}$ ดังนั้น $\dfrac{2^{n}}{(-7)^{n}}=r^{n}$

   $\frac{2^{n}+(-7)^{n}}{2\cdot 2^{n}-7\cdot(-7)^{n}}=\frac{r^{n}+1}{2r^{n}-7}.$

4. 4

   ส่งอัตราส่วนตัวเล็กไปที่ศูนย์ เนื่องจาก $|r|=\tfrac27<1$ จึงได้ $r^{n}\to 0$ เมื่อ $n\to\infty$ — มันสลับเครื่องหมายแต่หดลงแบบเรขาคณิต ลิมิตจึงเป็น $0$ อยู่ดี

5. 5

   อ่านค่าลิมิตออกมา

   $\lim_{n\to\infty}\frac{r^{n}+1}{2r^{n}-7}=\frac{0+1}{0-7}=-\frac{1}{7}.$

6. 6

   ตรวจด้วยเลขคณิตแบบตรงตัว การหาค่าผลหารเดิมด้วยเศษส่วนตรงตัวให้ $-0.14285781$ ที่ $n=10$, $-0.14285695$ ที่ $n=11$ และ $-0.142857142857$ ที่ $n=50$, $51$, $200$ และ $201$ — ลู่เข้าสู่ $-\tfrac17=-0.142857\ldots$ จากทั้งสองข้างสลับกันไปตามภาวะคู่คี่ของ $n$