จงหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 2 ของ (1 + (x กำลังสาม − 8)/(4x − 8)) ยกกำลัง 2x

Step-by-step solution

1. 1

   วินิจฉัยรูปแบบก่อนเลือกวิธี ที่ $x=2$ เศษส่วน $\frac{x^3-8}{4x-8}$ เป็น $\frac00$ ฐานจึงยังไม่ชัดว่าเป็น $1$ - อาจใช่หรือไม่ใช่สถานการณ์ $1^\infty$ ก็ได้ ให้จัดรูปเศษส่วนข้างในก่อน แล้วรูปแบบจะเผยตัวเอง

2. 2

   แยกตัวประกอบทั้งตัวเศษและตัวส่วน ตัวเศษเป็นผลต่างกำลังสาม $x^3-8 = x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$ ส่วนตัวส่วนคือ $4x-8 = 4(x-2)$ ตัวประกอบร่วม $x-2$ ไม่เป็นศูนย์ระหว่างที่เข้าใกล้ (เราไม่เคยแทนค่าที่ $2$) จึงตัดกันได้ $\frac{x^3-8}{4x-8} = \frac{x^2+2x+4}{4}.$

3. 3

   ประกอบฐานขึ้นใหม่ $1+\frac{x^2+2x+4}{4} = \frac{4+x^2+2x+4}{4} = \frac{x^2+2x+8}{4}.$

4. 4

   หาค่าฐานและเลขชี้กำลังแยกกัน ตอนนี้ทั้งคู่ต่อเนื่องที่ $x=2$ ฐาน: $\frac{4+4+8}{4} = \frac{16}{4} = 4$ เลขชี้กำลัง: $2x = 4$ รูปแบบจึงเป็น $4^4$ ซึ่งเป็นลิมิตธรรมดาที่กำหนดค่าได้ - ไม่ใช่ $1^\infty$ และไม่ต้องใช้กลเม็ดเลขชี้กำลังหรือลอการิทึมเลย

5. 5

   คำนวณค่า $\lim_{x\to2}\left(1+\frac{x^3-8}{4x-8}\right)^{2x} = 4^4 = 256.$

6. 6

   ยืนยันด้วยตัวเลข ที่ $x=2.0001$ นิพจน์มีค่า $256.109$ และที่ $x=1.9999$ มีค่าน้อยกว่า $256$ อยู่เล็กน้อย - เข้าใกล้ $256$ จากทั้งสองข้าง