จงหาค่าลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของ (3x³ − 2x − 1) / (5x² + 3x − 8)

Step-by-step solution

1. 1

   แทนค่าก่อนเพื่อดูว่าลิมิตนี้เป็นแบบใด การแทนค่าตรง ๆ เป็นก้าวแรกเสมอ

   $3(1)^3-2(1)-1=0,\qquad 5(1)^2+3(1)-8=0$

   ผลลัพธ์เป็น $\tfrac{0}{0}$ ซึ่งไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นสัญญาณว่าพหุนามทั้งสองมีตัวประกอบร่วมกัน

2. 2

   ใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบ พหุนาม $p$ ที่มี $p(1)=0$ ย่อมหารด้วย $x-1$ ลงตัว พหุนามทั้งสองของเราเป็นศูนย์ที่ $x=1$ ทั้งคู่จึงมีตัวประกอบนั้น เมื่อหารตัวเศษด้วย $x-1$

   $3x^3-2x-1=(x-1)(3x^2+3x+1)$

   การกระจายกลับยืนยันได้ $3x^3+3x^2+x-3x^2-3x-1=3x^3-2x-1$

3. 3

   แยกตัวประกอบตัวส่วนด้วยวิธีเดียวกัน

   $5x^2+3x-8=(x-1)(5x+8)$

   ตรวจดู $5x^2+8x-5x-8=5x^2+3x-8$ การแยกตัวประกอบทั้งสองเป็นแบบตรงตัว ไม่มีการประมาณใด ๆ

4. 4

   ตัดทิ้ง — และดูว่าทำไมจึงทำได้ ลิมิตเมื่อ $x\to 1$ มองเฉพาะ $x\neq 1$ เท่านั้น และสำหรับ $x\neq 1$ ตัวประกอบ $x-1$ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งหารออกได้

   $\frac{(x-1)(3x^2+3x+1)}{(x-1)(5x+8)}=\frac{3x^2+3x+1}{5x+8}$

   ฟังก์ชันตัวใหม่ต่างจากตัวเดิมเพียงที่จุดเดียวคือ $x=1$ ซึ่งลิมิตไม่สนใจอยู่แล้ว

5. 5

   แทนค่าอีกครั้งในเศษส่วนที่ลดรูปแล้ว ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์แล้ว ($5+8=13\neq 0$) การแทนค่าจึงใช้ได้

   $\lim_{x\to 1}\frac{3x^2+3x+1}{5x+8}=\frac{3+3+1}{5+8}=\frac{7}{13}$

6. 6

   ตรวจความสมเหตุสมผลด้วยตัวเลข ที่ $x=1.001$ ผลหารเดิมเป็น $0.53895$ และที่ $x=0.999$ เป็น $0.53798$ ทั้งคู่ขนาบ $\tfrac{7}{13}=0.53846$ ไว้ ค่านี้จึงได้รับการยืนยันจากทั้งสองข้าง