จงหาลิมิตเมื่อ x เข้าสู่ลบอนันต์ ของผลรวมของ x^n/(n · n!) โดย n เดินจาก 1 ถึงอนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   ตั้งชื่อผลรวมและสังเกตว่ามันลู่เข้าทุกที่ ให้

   $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n\,n!}$

   $n!$ ที่ตัวส่วนทำให้รัศมีการลู่เข้าเป็นอนันต์ ดังนั้น $S$ นิยามได้สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ และหาอนุพันธ์ทีละพจน์ได้

2. 2

   หาอนุพันธ์เพื่อกำจัดตัวประกอบ $n$ ที่เกะกะ

   $S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{n\,n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\frac{e^{x}-1}{x}$

   $n$ ตัดกัน และอนุกรมที่เหลือคืออนุกรมเลขชี้กำลังที่ตัดพจน์ $n=0$ ออก ขั้นนี้คือกุญแจที่ทำให้โจทย์แก้ได้

3. 3

   อินทิเกรตกลับ โดยใช้ $S(0)=0$ ทุกพจน์ของ $S$ เป็นศูนย์ที่ $x=0$ ดังนั้น

   $S(x)=\int_{0}^{x}\frac{e^{t}-1}{t}\,dt$

   ตัวถูกอินทิเกรตมีพฤติกรรมดีที่ $t=0$ ซึ่งมันลู่เข้าสู่ $1$ จึงไม่มีภาวะเอกฐานให้กังวล

4. 4

   พิจารณาตัวถูกอินทิเกรตเมื่อไปทางซ้ายไกล ๆ เมื่อ $t\to-\infty$ จะได้ $e^{t}\to 0$ ดังนั้น

   $\frac{e^{t}-1}{t}\approx\frac{-1}{t}$

   ซึ่งเป็นบวกเมื่อ $t<0$ และลดลงช้าราว ๆ $1/|t|$ เท่านั้น — ช้าเกินกว่าที่ปริพันธ์จะเข้าที่เข้าทางได้

5. 5

   สรุปว่าปริพันธ์ลู่ออก เขียน $S(x)=-\int_{x}^{0}\frac{e^{t}-1}{t}dt$ แล้วเทียบกับ $\int_{x}^{0}\frac{-1}{t}dt=\ln|x|\to+\infty$ ปริพันธ์จึงโตอย่างไม่มีขอบเขต ดังนั้น

   $\lim_{x\to-\infty}S(x)=-\infty$

6. 6

   ยืนยันอัตราการโตแบบลอการิทึมด้วยตัวเลข เมื่อบวกอนุกรมตรง ๆ ได้ $S(-10)=-2.8798$, $S(-20)=-3.5729$, $S(-30)=-3.9784$ ส่วนค่าที่ทำนายเชิงเส้นกำกับ $-\left(\ln|x|+\gamma\right)$ เมื่อ $\gamma=0.5772$ ให้ $-3.9784$ ที่ $x=-30$ ✓ — ลู่ออกจริง แต่ด้วยความเร็วระดับลอการิทึมเท่านั้น