จงหาผลบวกของ 1/n² เมื่อ n วิ่งจาก 1 ถึงอนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   ยืนยันการลู่เข้าก่อนจะไล่หาค่า นี่คืออนุกรม $p$ แบบ $\sum n^{-p}$ ที่ $p=2$ การทดสอบด้วยปริพันธ์เทียบกับ $\int_{1}^{\infty}x^{-2}dx=1$ ซึ่งมีค่าจำกัด อนุกรมจึงลู่เข้า ต่างจากอนุกรมฮาร์มอนิกที่ $p=1$ ซึ่งลู่ออก การถามหาผลบวกจะมีความหมายก็ต่อเมื่อประเด็นนี้ถูกสะสางแล้ว

2. 2

   ตีกรอบผลบวกอย่างหยาบเพื่อรู้ว่าควรคาดหวังอะไร เนื่องจาก $\dfrac{1}{n^{2}}<\dfrac{1}{n(n-1)}$ เมื่อ $n\ge 2$ และอนุกรมนั้นยุบแบบกล้องส่องทางไกลเหลือ $1$ หางหลังพจน์แรกจึงน้อยกว่า $1$

   $1<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}<2$

   คำตอบจึงอยู่ระหว่าง 1 กับ 2 ซึ่งเป็นเกราะกันรูปปิดที่ผิดได้ดี

3. 3

   นึกถึงแนวคิดของออยเลอร์: แยกตัวประกอบ $\dfrac{\sin x}{x}$ ตามรากของมัน ฟังก์ชัน $\dfrac{\sin x}{x}$ มีค่า $1$ ที่ $x=0$ และเป็นศูนย์ที่ $x=\pm k\pi$ ซึ่งชี้ไปยังผลคูณอนันต์

   $\frac{\sin x}{x}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^{2}}{k^{2}\pi^{2}}\right)$

   วิธีนี้ปฏิบัติต่อฟังก์ชันอดิศัยเสมือนพหุนามที่เขียนขึ้นจากรากของมัน อันเป็นการก้าวกระโดดที่ทำให้ข้อพิสูจน์นี้โด่งดัง

4. 4

   จับคู่สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ เมื่อกระจายผลคูณ สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ คือ $-\displaystyle\sum_{k\ge 1}\frac{1}{k^{2}\pi^{2}}$ ส่วนจากอนุกรมเทย์เลอร์ $\dfrac{\sin x}{x}=1-\dfrac{x^{2}}{6}+\cdots$ สัมประสิทธิ์เดียวกันนั้นคือ $-\dfrac16$ เมื่อทำให้เท่ากัน

   $\frac{1}{\pi^{2}}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac16$

5. 5

   แก้หาผลบวก

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\approx 1.6449340668$

   ค่านี้อยู่ในกรอบจากขั้นตอนที่ 2 อย่างสบาย การบวกผลบวกย่อยตรง ๆ สองล้านพจน์ให้ $1.6449335668$ และส่วนที่ขาดไป $5\times 10^{-7}$ ก็คือหางที่ $\approx 1/N$ พอดี ✓ ในสัญกรณ์สมัยใหม่นี่คือ $\zeta(2)$