จงหาลิมิตเมื่อ x เข้าสู่อนันต์ของ √((36x² − 25x + 16)/(9x² − 4x + 1))

Step-by-step solution

1. 1

   จัดการข้างในก่อน รากที่สองเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน $[0,\infty)$ ดังนั้น

   $\lim_{x\to\infty}\sqrt{g(x)} = \sqrt{\lim_{x\to\infty} g(x)}$

   โดยมีเงื่อนไขว่าลิมิตข้างในมีอยู่จริงและไม่เป็นลบ จึงหาค่าฟังก์ชันตรรกยะก่อน แล้วค่อยถอดรากครั้งเดียวตอนท้าย

2. 2

   หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุด คือ $x^2$ นี่คือวิธีมาตรฐานสำหรับลิมิตที่อนันต์ และมันเปลี่ยนพจน์อันดับต่ำทุกตัวให้กลายเป็นสิ่งที่หายไป

   $\frac{36x^2-25x+16}{9x^2-4x+1} = \frac{36 - \dfrac{25}{x} + \dfrac{16}{x^2}}{9 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}}$

3. 3

   ปล่อยให้พจน์ส่วนกลับลู่เข้าสู่ศูนย์ เมื่อ $x\to\infty$ แต่ละพจน์ $\tfrac{25}{x}$, $\tfrac{16}{x^2}$, $\tfrac{4}{x}$ และ $\tfrac{1}{x^2}$ ลู่เข้าสู่ $0$

   $\lim_{x\to\infty}\frac{36x^2-25x+16}{9x^2-4x+1} = \frac{36}{9} = 4$

   เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนมีดีกรีเท่ากัน ลิมิตจึงเป็นเพียงอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

4. 4

   ถอดรากที่สอง

   $\sqrt{4} = 2$

   คำตอบคือ $+2$ ซึ่งเป็นรากหลัก การใส่ $\pm$ จะผิด เพราะนิพจน์ที่กำลังพิจารณาอยู่เป็นรากที่สองที่ไม่เป็นลบตลอด

5. 5

   ระวังทางลัดที่ชวนให้หลง การเขียน $\sqrt{36x^2}/\sqrt{9x^2} = 6x/3x = 2$ บังเอิญให้ค่าที่ถูกต้องในข้อนี้ แต่ถูกก็เพราะสัมประสิทธิ์นำทั้งสองเป็นกำลังสองสมบูรณ์และ $x > 0$ เท่านั้น ทางที่ปลอดภัยคือลดรูปข้างในก่อนเสมอ

6. 6

   ตรวจด้วยตัวเลข ที่ $x = 1000$: ตัวเศษ $= 36{,}000{,}000 - 25{,}000 + 16 = 35{,}975{,}016$, ตัวส่วน $= 9{,}000{,}000 - 4{,}000 + 1 = 8{,}996{,}001$, อัตราส่วน $= 3.999001$, รากที่สอง $= 1.999750$ ที่ $x = 10^6$ รากที่สองเป็น $1.99999975$ ✓ — ลู่เข้าสู่ $2$ และการหาลิมิตเชิงสัญลักษณ์ก็ให้ $2$ พอดี