จงหาค่า 1/(a+b) คูณกับปริพันธ์ตั้งแต่ 0 ถึง arctan(b/a) ของปริพันธ์ชั้นใน r² dr ตั้งแต่ 0 ถึง a/cos(theta)

Step-by-step solution

1. 1

   เข้าใจบริเวณที่อินทิเกรต ขอบเขตชั้นนอก $r=\dfrac{a}{\cos\theta}$ คือสมการเชิงขั้วของเส้นตรงแนวดิ่ง $x=a$ และ $\theta$ วิ่งจาก $0$ ถึง $\arctan(b/a)$ บริเวณที่กวาดได้จึงเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีจุดยอด $(0,0)$, $(a,0)$ และ $(a,b)$ การรู้ข้อนี้ทำให้ขอบเขตมีความหมาย แทนที่จะดูเหมือนถูกกำหนดมาลอย ๆ

2. 2

   ทำปริพันธ์ชั้นในตามตัวแปร $r$

   $\int_{0}^{a/\cos\theta}r^{2}\,dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{a/\cos\theta}=\frac{a^{3}}{3\cos^{3}\theta}=\frac{a^{3}}{3}\sec^{3}\theta$

   การยกกำลังสามของขอบบนคือสิ่งที่เปลี่ยนกำลังธรรมดาให้กลายเป็นโจทย์เซแคนต์กำลังสาม

3. 3

   ทบทวนปฏิยานุพันธ์ของเซแคนต์กำลังสาม นี่คือผลมาตรฐานจากการอินทิเกรตทีละส่วน

   $\int\sec^{3}\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\left(\sec\theta\tan\theta+\ln\left|\sec\theta+\tan\theta\right|\right)+C$

   นี่เป็นชิ้นเดียวของการคำนวณที่ทำด้วยการแทนค่าธรรมดาไม่ได้

4. 4

   หาค่าที่ขอบบน เมื่อ $\theta_{0}=\arctan(b/a)$ เรขาคณิตของสามเหลี่ยมมุมฉากให้

   $\tan\theta_{0}=\frac{b}{a},\qquad\sec\theta_{0}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}$

   จึงได้ $\sec\theta_{0}\tan\theta_{0}=\dfrac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}}$ และ $\sec\theta_{0}+\tan\theta_{0}=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}$ ส่วนที่ $\theta=0$ ทั้ง $\sec\theta\tan\theta$ และ $\ln|\sec\theta+\tan\theta|=\ln1$ ต่างเป็นศูนย์

5. 5

   ประกอบเป็นรูปปิด รวมค่าคงตัว $\dfrac{a^{3}}{3}\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{1}{a+b}$ เข้าด้วยกัน

   $\frac{a^{3}}{6(a+b)}\left(\frac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}}+\ln\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}\right)$

   หรือเมื่อกระจายพจน์แรกออกมา

   $\frac{ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{6(a+b)}+\frac{a^{3}}{6(a+b)}\ln\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}$

6. 6

   ตรวจเชิงตัวเลขที่ค่าพารามิเตอร์หลายชุด เทียบการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขด้วยกฎซิมป์สันของ $\dfrac{a^{3}\sec^{3}\theta}{3(a+b)}$ กับรูปปิด ที่ $(a,b)=(1,1)$ ได้ $0.1912989291$ ทั้งสองทาง ที่ $(2,3)$ ได้ $1.0397137797$ ทั้งสองทาง ที่ $(0.7,1.9)$ ได้ $0.2105370143$ ทั้งสองทาง ✓ ตรงกันดีกว่า $10^{-8}$ ในทุกกรณี