ติดตรงนี้? แก้มันด้วย AI
Calculus · real student question

ให้ f(x) เป็นผลบวกตั้งแต่ n = 1 ถึงอนันต์ ของ x^n / n^2 ซึ่งคือฟังก์ชันไดลอการิทึม Li2(x) จงพิจารณาว่า f หาอนุพันธ์ได้ที่ x = −1 หรือไม่

Question

ให้

f(x)=∑n=1∞xnn2=Li⁡2(x)f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}=\operatorname{Li}_2(x)

ฟังก์ชัน ff หาอนุพันธ์ได้ที่ x=−1x=-1 หรือไม่

Step-by-step solution

  1. หาตำแหน่งของ x = −1 เทียบกับช่วงการลู่เข้า การทดสอบอัตราส่วนให้รัศมี R=1R=1 และที่จุดปลายทั้งสอง ∑(±1)nn2\sum \tfrac{(\pm 1)^n}{n^2} ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (เพราะถูกครอบด้วย ∑1/n2\sum 1/n^2) ฟังก์ชัน ff จึงนิยามบนช่วงปิด [−1,1][-1,1] และ x=−1x=-1 เป็นจุดปลาย ซึ่งเป็นเหตุผลที่คำถามนี้ไม่ได้ตอบได้โดยอัตโนมัติ ภายใน (−1,1)(-1,1) การหาอนุพันธ์ได้นั้นมาฟรี แต่ที่จุดปลายต้องให้เหตุผล

  2. หาอนุพันธ์ทีละพจน์ภายในช่วง สำหรับ ∣x∣<1|x|<1

    f′(x)=∑n=1∞nxn−1n2=∑n=1∞xn−1n=−ln⁡(1−x)xf'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n x^{n-1}}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x}

    โดยใช้ ∑n≥1tnn=−ln⁡(1−t)\sum_{n\ge 1}\tfrac{t^n}{n}=-\ln(1-t) ที่ t=xt=x แล้วหารด้วย xx

  3. ทดสอบอนุกรมที่หาอนุพันธ์แล้วที่จุดปลาย แทน x=−1x=-1 ลงในอนุกรมของอนุพันธ์ได้

    ∑n=1∞(−1)n−1n=1−12+13−14+⋯\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots

    อนุกรมฮาร์มอนิกสลับเครื่องหมายนี้ลู่เข้า (ตามการทดสอบอนุกรมสลับ) สู่ ln⁡2\ln 2 นี่คือความต่างที่ชี้ขาดจากกรณี x=+1x=+1 ซึ่งอนุกรมเดียวกันกลายเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกที่ลู่ออก และอนุพันธ์ไม่มีอยู่

  4. ยกระดับการลู่เข้าให้เป็นการหาอนุพันธ์ได้ด้วยทฤษฎีบทของอาเบล เนื่องจากอนุกรมของอนุพันธ์ลู่เข้าที่ x=−1x=-1 มันจึงลู่เข้าอย่างเอกรูปบน [−1,0][-1,0] และอนุกรมของอนุพันธ์ที่ลู่เข้าอย่างเอกรูปสามารถอินทิเกรตหรือหาอนุพันธ์ทีละพจน์ได้จนถึงและรวมจุดปลายด้วย ดังนั้น ff จึงหาอนุพันธ์ได้ที่ x=−1x=-1 (แบบด้านเดียวเมื่อมองจากภายใน [−1,1][-1,1] และแบบสองด้านถ้าใช้การต่อเนื่องเชิงวิเคราะห์ของ Li⁡2\operatorname{Li}_2 เลย −1-1 ออกไป) โดยที่

    f′(−1)=∑n=1∞(−1)n−1n=ln⁡2f'(-1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2

  5. ยืนยันด้วยรูปปิด สูตร f′(x)=−ln⁡(1−x)xf'(x)=-\tfrac{\ln(1-x)}{x} ต่อเนื่องที่ x=−1x=-1 และให้

    f′(−1)=−ln⁡2−1=ln⁡2≈0.6931f'(-1)=-\frac{\ln 2}{-1}=\ln 2\approx 0.6931

    ตรงกับค่าที่ได้จากอนุกรม (สำหรับอ้างอิง f(−1)=∑(−1)nn2=−π212f(-1)=\sum \tfrac{(-1)^n}{n^2}=-\tfrac{\pi^2}{12})

    ได้ โดย f′(−1)=ln⁡2≈0.693\boxed{\text{ได้ โดย }f'(-1)=\ln 2\approx 0.693}

  6. เทียบจุดปลายทั้งสองข้าง ที่ x=1x=1 ผลหารผลต่าง f(1)−f(x)1−x=∑n≥11+x+⋯+xn−1n2\tfrac{f(1)-f(x)}{1-x}=\sum_{n\ge 1}\tfrac{1+x+\cdots+x^{n-1}}{n^2} ลู่ไปยัง ∑1n=∞\sum \tfrac{1}{n}=\infty ดังนั้น ff มีเส้นสัมผัสแนวดิ่งที่จุดนั้นและหาอนุพันธ์ไม่ได้ ตัวประกอบ (−1)n(-1)^n เพียงตัวเดียวที่เพิ่มเข้ามาที่ x=−1x=-1 เปลี่ยนอนุกรมที่ลู่ออกให้กลายเป็นลู่เข้า คำตอบทั้งหมดขึ้นอยู่กับจุดนี้

Answer

ได้: f′(−1)=∑n=1∞(−1)n−1n=ln⁡2≈0.693\text{ได้: }f'(-1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2\approx 0.693

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions