จงหาการแปลงลาปลาซผกผันของ 0.4 คูณ e ยกกำลังลบ s บวก 0.2 คูณ e ยกกำลังลบ 2s บวก 0.4 คูณ e ยกกำลังลบ 3s

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจเครื่องหมายของเลขชี้กำลังก่อน ฟังก์ชันในโดเมนลาปลาซจะพก $e^{-as}$ โดยที่ $a > 0$ ส่วนตัวประกอบ $e^{+as}$ อธิบายการเลื่อน ย้อนหลัง ในเวลา และไม่ใช่การแปลงของฟังก์ชันเชิงเหตุผลใด ๆ ดังนั้นนิพจน์ที่เขียนด้วย $e^{s}$, $e^{2s}$, $e^{3s}$ ต้องอ่านเป็น $e^{-s}$, $e^{-2s}$, $e^{-3s}$ เสียก่อนจึงจะแปลงผกผันได้เลย

2. 2

   สังเกตว่าไม่มี F(s) ติดมากับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ทฤษฎีบทการเลื่อนที่สองกล่าวว่า

   $\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\} = u(t-a)\,f(t-a)$

   ในที่นี้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังแต่ละตัวอยู่โดด ๆ นั่นคือ $F(s) = 1$ การแปลงผกผันของ $1$ ไม่ใช่ฟังก์ชันธรรมดา แต่คือเดลตาของดิแรก $\delta(t)$ เพราะ $\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$

3. 3

   ใช้กฎการเลื่อนของเดลตากับแต่ละพจน์ เมื่อรวมสองข้อเท็จจริงข้างต้น

   $\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}\right\} = \delta(t - a)$

   สามพจน์นี้จึงแปลงผกผันได้เป็นอิมพัลส์ที่ $t = 1$, $t = 2$ และ $t = 3$ ตามลำดับ

4. 4

   ใช้สมบัติเชิงเส้นประกอบเป็นคำตอบ การแปลงผกผันเป็นการดำเนินการเชิงเส้น สัมประสิทธิ์จึงผ่านไปได้ตรง ๆ

   $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{2}{5}\delta(t-1) + \frac{1}{5}\delta(t-2) + \frac{2}{5}\delta(t-3)$

   นี่คือขบวนอิมพัลส์สามลูกที่มีความแรง $0.4$, $0.2$ และ $0.4$

5. 5

   ตรวจด้วยการแปลงกลับ ใช้ $\int_0^\infty \delta(t-a)e^{-st}\,dt = e^{-as}$ กับอิมพัลส์แต่ละลูก จะได้ $\tfrac25 e^{-s} + \tfrac15 e^{-2s} + \tfrac25 e^{-3s}$ กลับมาพอดี สังเกตว่าสัมประสิทธิ์รวมกันได้ $\tfrac25 + \tfrac15 + \tfrac25 = 1$ ความแรงรวมของอิมพัลส์จึงเป็น $1$ คือมีพื้นที่รวมเท่ากับ $\delta(t)$ ลูกเดียว เพียงแต่ถูกแบ่งกระจายไปสามช่วงเวลา