จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ (x − 1) / (x² − 2x + 3)² เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   ดูอนุพันธ์ของฐานในตัวส่วนก่อน ก่อนจะไปคว้าเศษส่วนย่อย ให้หาอนุพันธ์ของสิ่งที่ถูกยกกำลังสอง

   $\frac{d}{dx}\left(x^2-2x+3\right)=2x-2=2(x-1)$

   ตัวเศษ $x-1$ เป็นครึ่งหนึ่งของค่านี้พอดี เมื่อใดที่ตัวเศษเป็นจำนวนเท่าคงตัวของอนุพันธ์ข้างใน การแทนค่าจะจบปริพันธ์ได้ในบรรทัดเดียว ไม่ต้องทำกำลังสองสมบูรณ์ ไม่ต้องใช้อาร์กแทนเจนต์

2. 2

   แทนค่า ให้

   $u=x^2-2x+3,\qquad du=2(x-1)\,dx\quad\Longrightarrow\quad (x-1)\,dx=\tfrac12\,du$

   ก้อน $(x-1)\,dx$ ทั้งก้อนถูกแทนที่ในคราวเดียว จึงไม่มี $x$ หลงเหลืออยู่

3. 3

   เขียนปริพันธ์ใหม่ในตัวแปร $u$

   $\int\frac{x-1}{(x^2-2x+3)^2}\,dx=\frac12\int \frac{du}{u^{2}}=\frac12\int u^{-2}\,du$

4. 4

   อินทิเกรตกำลัง ใช้กฎกำลัง $\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}$ โดยมี $n=-2$

   $\frac12\int u^{-2}\,du=\frac12\cdot\frac{u^{-1}}{-1}=-\frac{1}{2u}$

5. 5

   แทนกลับแล้วเติมค่าคงตัว

   $\int \frac{x-1}{\left(x^2-2x+3\right)^2}\,dx=-\frac{1}{2\left(x^2-2x+3\right)}+C$

   ตัวส่วน $x^2-2x+3=(x-1)^2+2$ ไม่เป็นศูนย์เลย ปฏิยานุพันธ์นี้จึงใช้ได้ทั่วทั้ง $\mathbb{R}$

6. 6

   หาอนุพันธ์เพื่อยืนยัน ให้ $F(x)=-\tfrac12 u^{-1}$

   $F'(x)=\tfrac12 u^{-2}u'=\frac{2x-2}{2\left(x^2-2x+3\right)^2}=\frac{x-1}{\left(x^2-2x+3\right)^2}\;\checkmark$

   ตรวจเชิงตัวเลขที่ $x=2.5$ ได้ $F'(2.5)=0.08304498$ ซึ่งตรงกับตัวถูกอินทิเกรตพอดี