ติดตรงนี้? แก้มันด้วย AI
Calculus · real student question

ให้ f(x, y) หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องสองครั้งบนแผ่นจานหนึ่งหน่วย D = {x² + y² ≤ 1} โดยมี f_xx + f_yy = x² + y² จงหาค่าปริพันธ์สองชั้นบน D ของ (x/√(x²+y²)) f_x + (y/√(x²+y²)) f_y

Question

ให้ f(x,y)f(x,y) หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องสองครั้งบน D={(x,y)∣x2+y2≤1}D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\} และสอดคล้องกับ

∂2f∂x2+∂2f∂y2=x2+y2\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=x^{2}+y^{2}

จงหาค่า

∬D(xx2+y2∂f∂x+yx2+y2∂f∂y)dx dy\iint_{D}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\frac{\partial f}{\partial y}\right)dx\,dy

Step-by-step solution

  1. มองให้ออกว่าตัวถูกอินทิเกรตคืออนุพันธ์แนวรัศมี ในพิกัดเชิงขั้ว x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=rsin⁡θy=r\sin\theta ดังนั้น xx2+y2=cos⁡θ\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\cos\theta และ yx2+y2=sin⁡θ\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sin\theta จึงได้

    cos⁡θ fx+sin⁡θ fy=∂f∂r\cos\theta\,f_x+\sin\theta\,f_y=\frac{\partial f}{\partial r}

    โจทย์จึงกลายเป็น I=∬D∂f∂r dAI=\displaystyle\iint_{D}\frac{\partial f}{\partial r}\,dA สังเกตว่าโจทย์ไม่เคยให้ ff มาเลย คำตอบจึงต้องถูกบังคับด้วยเงื่อนไขลาปลาเซียนเพียงอย่างเดียว

  2. แนะนำค่าเฉลี่ยเชิงมุม นิยาม

    g(r)=12π∫02πf(r,θ) dθg(r)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(r,\theta)\,d\theta

    ในรูปเชิงขั้ว ลาปลาเซียนคือ ∇2f=1r(rfr)r+1r2fθθ\nabla^{2}f=\tfrac1r\big(rf_r\big)_r+\tfrac{1}{r^{2}}f_{\theta\theta} การเฉลี่ยตาม θ\theta จะกำจัดพจน์ fθθf_{\theta\theta} ทิ้ง (เพราะมันอินทิเกรตได้ศูนย์ตลอดหนึ่งคาบเต็ม) เหลือไว้เพียง

    1r(rg′(r))′=r2\frac1r\big(rg'(r)\big)'=r^{2}

    เนื่องจากข้างขวา x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 ไม่ขึ้นกับ θ\theta

  3. แก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ได้ คูณด้วย rr แล้วอินทิเกรต

    (rg′)′=r3⟹rg′=r44+C\big(rg'\big)'=r^{3}\quad\Longrightarrow\quad rg'=\frac{r^{4}}{4}+C

    ความราบเรียบของ ff ที่จุดกำเนิดบังคับให้ rg′→0rg'\to 0 เมื่อ r→0r\to 0 จึงได้ C=0C=0 และ

    g′(r)=r34g'(r)=\frac{r^{3}}{4}

    นี่คือจุดสำคัญ ส่วนที่เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกซึ่งกำหนดได้ตามใจของ ff มีค่าเฉลี่ยเชิงมุมเป็นค่าคงตัว (สมบัติค่าเฉลี่ย) จึงไม่มีส่วนร่วมใน g′g' เลย

  4. เปลี่ยนปริพันธ์ให้อยู่ในรูป g' เมื่อ dA=r dr dθdA=r\,dr\,d\theta

    I=∫01 ⁣ ⁣∫02π∂f∂r r dθ dr=∫01r(∫02πfr dθ)dr=∫01r⋅2πg′(r) drI=\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2\pi}\frac{\partial f}{\partial r}\,r\,d\theta\,dr=\int_{0}^{1}r\left(\int_{0}^{2\pi}f_r\,d\theta\right)dr=\int_{0}^{1}r\cdot 2\pi g'(r)\,dr

  5. หาค่า

    I=2π∫01r⋅r34 dr=π2∫01r4 dr=π2⋅15=π10I=2\pi\int_{0}^{1}r\cdot\frac{r^{3}}{4}\,dr=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}r^{4}\,dr=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{\pi}{10}

    π10\boxed{\dfrac{\pi}{10}}

  6. ตรวจด้วยผลเฉลยที่เขียนออกมาได้จริง ให้ f=r416=(x2+y2)216f=\tfrac{r^{4}}{16}=\tfrac{(x^2+y^2)^2}{16} จะได้ ∇2f=1r(r⋅4r316)′=1r(r44)′=r2\nabla^{2}f=\tfrac1r\left(r\cdot\tfrac{4r^{3}}{16}\right)'=\tfrac1r\left(\tfrac{r^{4}}{4}\right)'=r^{2} ✓ และ fr=r34f_r=\tfrac{r^{3}}{4} ดังนั้น

    I=∫02π ⁣ ⁣∫01r34 r dr dθ=2π⋅120=π10I=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\frac{r^{3}}{4}\,r\,dr\,d\theta=2\pi\cdot\frac{1}{20}=\frac{\pi}{10}

    ตรงกับการให้เหตุผลแบบทั่วไป การบวกฟังก์ชันฮาร์มอนิกใด ๆ เข้ากับ ff นี้ก็ไม่ทำให้ทั้งสมมติฐานและคำตอบเปลี่ยนไป

Answer

π10\dfrac{\pi}{10}

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions