จงหาค่าปริพันธ์ของ sin(x)/sin²(4 cos(x)) dx

Step-by-step solution

1. 1

   มองหาฟังก์ชันข้างในและอนุพันธ์ของมัน ส่วนที่ยุ่งยากคือฟังก์ชันประกอบ $\sin^{2}(4\cos x)$ ซึ่งมีฟังก์ชันข้างในเป็น $4\cos x$ อนุพันธ์ของมันคือ $-4\sin x$ และมีตัวประกอบ $\sin x$ วางอยู่ในตัวเศษแล้ว การแทนค่า $u=4\cos x$ จึงเคลียร์ปริพันธ์นี้ได้หมดจด

2. 2

   ลงมือแทนค่า จาก $u=4\cos x$ ได้ $du=-4\sin x\,dx$ จึงได้ $\sin x\,dx=-\frac14\,du$ และ $\int\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}\,dx=-\frac14\int\frac{du}{\sin^{2}u}=-\frac14\int\csc^{2}u\,du .$

3. 3

   ใช้ปฏิยานุพันธ์มาตรฐานของโคเซแคนต์กำลังสอง เนื่องจาก $\frac{d}{du}\cot u=-\csc^{2}u$ จึงได้ $\int\csc^{2}u\,du=-\cot u+C$ ดังนั้น $-\frac14\int\csc^{2}u\,du=\frac14\cot u+C .$

4. 4

   กลับไปสู่ตัวแปรเดิม แทน $u=4\cos x$ กลับเข้าไปได้ $\int\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}\,dx=\frac14\cot(4\cos x)+C .$

5. 5

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ $\frac{d}{dx}\left[\frac14\cot(4\cos x)\right]=\frac14\left(-\csc^{2}(4\cos x)\right)\cdot(-4\sin x)=\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}$ ซึ่งเป็นตัวถูกอินทิเกรตเดิม ปฏิยานุพันธ์จึงถูกต้องบนทุกช่วงที่ $\sin(4\cos x)\ne 0$