จงหาค่าปริพันธ์ตั้งแต่ 0 ถึง 1 ของ (ln x)⁴ · ln(1 − x) / (x(1 − x)) dx

Step-by-step solution

1. 1

   แยกเคอร์เนลออกเป็นสองก้อนมาตรฐาน เศษส่วนย่อยให้ $\frac{1}{x(1-x)}=\frac1x+\frac1{1-x}$ ดังนั้น $I=I_1+I_2$ โดย $I_1=\int_0^1\frac{\ln^{4}x\,\ln(1-x)}{x}\,dx,\qquad I_2=\int_0^1\frac{\ln^{4}x\,\ln(1-x)}{1-x}\,dx .$ ทั้งสองครึ่งต้องใช้อนุกรมคนละแบบ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมข้ออ้างเรื่องความสมมาตรอย่างง่ายที่ส่ง $x\mapsto 1-x$ จึงใช้ไม่ได้ที่นี่

2. 2

   หาค่าครึ่งแรกด้วยอนุกรมลอการิทึม ใช้ $\ln(1-x)=-\sum_{n\ge1}\frac{x^{n}}{n}$ ร่วมกับโมเมนต์มาตรฐาน $\int_0^1 x^{n-1}\ln^{4}x\,dx=\frac{4!}{n^{5}}=\frac{24}{n^{5}}$ จะได้ $I_1=-\sum_{n\ge1}\frac{1}{n}\cdot\frac{24}{n^{5}}=-24\zeta(6).$

3. 3

   หาค่าครึ่งที่สองด้วยฟังก์ชันก่อกำเนิดของจำนวนฮาร์มอนิก ในที่นี้ $\frac{\ln(1-x)}{1-x}=-\sum_{n\ge1}H_n x^{n}$ และ $\int_0^1 x^{n}\ln^{4}x\,dx=\frac{24}{(n+1)^{5}}$ ดังนั้น $I_2=-24\sum_{n\ge1}\frac{H_n}{(n+1)^{5}} .$ เลื่อนดัชนีด้วย $m=n+1$ และ $H_{m-1}=H_m-\frac1m$ จะเปลี่ยนเป็น $I_2=-24\left(\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}-\zeta(6)\right).$

4. 4

   บวกสองครึ่งเข้าด้วยกัน พจน์ $\zeta(6)$ ตัดกัน $I=I_1+I_2=-24\zeta(6)-24\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}+24\zeta(6)=-24\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}} .$ ทุกอย่างตอนนี้ขึ้นอยู่กับผลบวกออยเลอร์เชิงเส้นเพียงก้อนเดียว

5. 5

   ใช้สูตรของออยเลอร์สำหรับผลบวกเชิงเส้น จาก $\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{s}}=\left(1+\frac{s}{2}\right)\zeta(s+1)-\frac12\sum_{k=1}^{s-2}\zeta(k+1)\zeta(s-k)$ ที่ $s=5$ จะได้ $\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}=\frac72\zeta(6)-\zeta(2)\zeta(4)-\frac12\zeta(3)^{2}.$ ดังนั้น $I=-84\zeta(6)+24\zeta(2)\zeta(4)+12\zeta(3)^{2}$

6. 6

   ลดรูปเป็นรูปปิดแล้วตรวจเชิงตัวเลข ใช้ $\zeta(6)=\frac{\pi^{6}}{945}$ และ $\zeta(2)\zeta(4)=\frac{\pi^{2}}{6}\cdot\frac{\pi^{4}}{90}=\frac{\pi^{6}}{540}$ พจน์ $\pi^{6}$ รวมกันได้ $-\frac{4}{45}\pi^{6}+\frac{2}{45}\pi^{6}=-\frac{2}{45}\pi^{6}$ จึงได้ $I=12\zeta(3)^{2}-\frac{2\pi^{6}}{45}$ เชิงตัวเลขค่านี้คือ $-25.389119\ldots$ และการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบเลขชี้กำลังคู่ของปริพันธ์เดิมก็คืนค่า $-25.389119\ldots$ เช่นกัน