จงหาค่าปริพันธ์ของ sin²(x) cos³(x) เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตกำลังที่เป็นจำนวนคี่ โคไซน์ปรากฏด้วยกำลังคี่คือ $3$ เมื่อใดที่ตัวประกอบตรีโกณมิติตัวใดตัวหนึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคี่ ตัวประกอบนั้นจะจ่ายอนุพันธ์ย่อยให้การแทนค่าได้ จึงไม่ต้องใช้สูตรลดทอนเลย

2. 2

   แยกโคไซน์ออกมาหนึ่งตัว เขียน $\cos^3 x=\cos^2 x\cdot\cos x$ ปริพันธ์จึงกลายเป็น $\int\sin^2 x\,\cos^2 x\,\cos x\,dx$

3. 3

   เปลี่ยนส่วนที่เหลือซึ่งเป็นกำลังคู่ ใช้เอกลักษณ์พีทาโกรัส $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ ตัวถูกอินทิเกรตกลายเป็น $\int\sin^2 x\left(1-\sin^2 x\right)\cos x\,dx$ ทุกอย่างตอนนี้เป็นฟังก์ชันของ $\sin x$ คูณกับ $\cos x\,dx$

4. 4

   แทนค่า $u=\sin x$ จะได้ $du=\cos x\,dx$ และปริพันธ์ยุบเหลือพหุนาม $\int u^2\left(1-u^2\right)du=\int\left(u^2-u^4\right)du$

5. 5

   อินทิเกรตแล้วแทนกลับ $\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+C=\frac{\sin^3 x}{3}-\frac{\sin^5 x}{5}+C$

6. 6

   ตรวจเชิงตัวเลข หาค่าปฏิยานุพันธ์นี้ระหว่าง $0$ กับ $1$ ได้ $0.11423043$ และกฎซิมป์สันที่ใช้กับตัวถูกอินทิเกรตเดิมบนช่วงเดียวกันคืนค่า $0.11423043$ ทั้งสองตรงกัน