จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ล้อมด้วยพาราโบลา y = x² และเส้นตรง y = x + 2

Step-by-step solution

1. 1

   หาตำแหน่งจุดตัด ตั้ง $x^2=x+2$ ได้ $x^2-x-2=0$ ซึ่งแยกตัวประกอบเป็น $(x-2)(x+1)=0$ เส้นโค้งทั้งสองจึงตัดกันที่ $x=-1$ และ $x=2$ ค่าทั้งสองนี้กลายเป็นขีดจำกัดของการอินทิเกรต

2. 2

   ตัดสินว่าเส้นใดอยู่ข้างบน ทดสอบที่จุดกึ่งกลาง $x=0.5$: เส้นตรงให้ $2.5$ ขณะที่พาราโบลาให้ $0.25$ เส้นตรงจึงอยู่เหนือพาราโบลาตลอดช่วง $(-1,2)$ ตัวถูกอินทิเกรตจึงเป็นเส้นตรงลบพาราโบลา

3. 3

   ตั้งปริพันธ์ พื้นที่ $=\displaystyle\int_{-1}^{2}\left[(x+2)-x^2\right]dx$ การเอาข้างบนลบข้างล่างรับประกันว่าตัวถูกอินทิเกรตเป็นบวก จึงไม่ต้องใช้ค่าสัมบูรณ์หรือแยกกรณีใด ๆ

4. 4

   หาปฏิยานุพันธ์ $\int\left(x+2-x^2\right)dx=\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}$

5. 5

   แทนค่าที่ขีดจำกัด ที่ $x=2$: $2+4-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$ ที่ $x=-1$: $\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}=-\frac{7}{6}$ ผลต่างคือ $\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$

6. 6

   ยืนยันด้วยตัวเลข การใช้กฎของซิมป์สันกับ $(x+2)-x^2$ บน $[-1,2]$ ให้ $4.5000$ ซึ่งตรงกับ $\frac{9}{2}$ ตารางหน่วย