จงหาค่าปริพันธ์ตั้งแต่ 0 ถึงอนันต์ ของ arctan(x) หารด้วย cosh(x) เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   ยืนยันการลู่เข้าก่อนลงมือทำ เมื่อ $x\to\infty$ จะได้ $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$ ขณะที่ $\operatorname{sech}x\sim 2e^{-x}$ ตัวถูกอินทิเกรตจึงลดลงแบบเลขชี้กำลัง ส่วนใกล้ ๆ $0$ มันมีพฤติกรรมแบบ $x$ ปริพันธ์นี้จึงมีค่าจำกัด และมีขอบเขตบนคือ $\tfrac{\pi}{2}\int_0^{\infty}\operatorname{sech}x\,dx=\tfrac{\pi^2}{4}\approx2.467$

2. 2

   กระจาย $1/\cosh x$ เป็นอนุกรมเลขชี้กำลังสลับเครื่องหมาย สำหรับ $x>0$

   $\frac{1}{\cosh x}=\frac{2e^{-x}}{1+e^{-2x}}=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n e^{-(2n+1)x}$

   วิธีนี้ใช้ได้เพราะ $e^{-2x}<1$ ตลอดทั้งช่วง อนุกรมเรขาคณิตจึงลู่เข้าทุกที่ที่ปริพันธ์นี้อยู่

3. 3

   อินทิเกรตทีละพจน์ สลับผลบวกกับปริพันธ์ได้

   $I=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_0^{\infty}e^{-(2n+1)x}\arctan x\,dx$

4. 4

   ลดรูปแต่ละก้อนแบบลาปลัสด้วยการอินทิเกรตทีละส่วน ให้ $u=\arctan x$ และ $dv=e^{-ax}dx$ พจน์ขอบเป็นศูนย์ทั้งสองปลาย เหลือ

   $\int_0^{\infty}e^{-ax}\arctan x\,dx=\frac{1}{a}\int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}}{1+x^{2}}\,dx$

   ดังนั้น

   $I=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\int_0^{\infty}\frac{e^{-(2n+1)x}}{1+x^{2}}\,dx$

5. 5

   ยอมรับว่าไม่มีรูปปิดแบบมูลฐาน ปริพันธ์ข้างในเป็นการผสมกันของปริพันธ์โคไซน์และปริพันธ์ไซน์ที่เป็นฟังก์ชันช่วย ไม่ใช่ฟังก์ชันมูลฐาน อนุกรมข้างต้นจึงเป็นคำตอบที่แม่นตรงอย่างซื่อสัตย์ที่สุด ส่วนค่าทศนิยมต้องหาด้วยวิธีเชิงตัวเลข

6. 6

   หาค่าเชิงตัวเลขด้วยสองเส้นทางที่เป็นอิสระต่อกัน การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบเกาส์-เลอฌ็องดร์บน $[0,80]$ ที่แบ่งเป็นเจ็ดแผงให้

   $I\approx 1.0986875$

   การบวกอนุกรมข้างต้นถึง $400$ พจน์ให้ $1.0986859$ ตรงกันหกหลัก ✓ ทั้งสองค่าอยู่ต่ำกว่าขอบเขต $\pi^2/4=2.467$ จากขั้นที่ 1 อย่างปลอดภัย (สังเกตว่า $I$ ใกล้เคียงกับ $\ln 3=1.0986123$ แต่ ไม่ เท่ากัน)