ติดตรงนี้? แก้มันด้วย AI
Calculus · real student question

จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ x e^(−x²) เทียบกับ x

Question

จงหาค่า

∫x e−x2 dx\int x\,e^{-x^{2}}\,dx

Step-by-step solution

  1. สังเกตก่อนว่าทำไมข้อนี้ถึงทำได้เลย ปริพันธ์ที่ใกล้เคียงกันมากคือ ∫e−x2dx\int e^{-x^2}dx นั้นไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐาน ตัวประกอบ xx ที่เพิ่มเข้ามาเปลี่ยนทุกอย่าง เพราะมันคืออนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง (ต่างกันแค่ค่าคงตัว) ปริพันธ์นี้จึงเป็นการแทนค่าล้วน ๆ การมองความต่างตรงนี้ให้ออกคือแก่นทั้งหมดของข้อนี้

  2. เลือกการแทนค่า ให้

    u=−x2⟹du=−2x dx⟹x dx=−12 duu=-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad du=-2x\,dx\quad\Longrightarrow\quad x\,dx=-\tfrac12\,du

  3. เขียนปริพันธ์ใหม่ให้อยู่ในตัวแปร uu ทั้งหมด ส่วน x dxx\,dx ในโจทย์เดิมถูกแทนที่ยกก้อน ไม่มี xx หลงเหลืออยู่เลย

    ∫x e−x2 dx=∫eu(−12 du)=−12∫eu du\int x\,e^{-x^{2}}\,dx=\int e^{u}\left(-\tfrac12\,du\right)=-\tfrac12\int e^{u}\,du

  4. อินทิเกรตแล้วแทนกลับ

    −12eu+C=−12e−x2+C-\tfrac12 e^{u}+C=-\tfrac12 e^{-x^{2}}+C

  5. หาอนุพันธ์เพื่อตรวจ โดยกฎลูกโซ่

    ddx(−12e−x2)=−12e−x2⋅(−2x)=x e−x2\frac{d}{dx}\left(-\tfrac12 e^{-x^{2}}\right)=-\tfrac12 e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=x\,e^{-x^{2}}

    ซึ่งเป็นตัวถูกอินทิเกรตเดิม ✓ ตรวจจุดเชิงตัวเลขที่ x=1.3x=1.3 ผลหารผลต่างสมมาตรของ −12e−x2-\tfrac12 e^{-x^2} ให้ 0.23987540.2398754 และ xe−x2=0.2398754x e^{-x^2}=0.2398754 ✓

  6. สังเกตว่าถ้าเป็นแบบจำกัดเขตจะได้อะไร เมื่อใส่ขอบเขต aa ถึง bb คำตอบคือ 12(e−a2−e−b2)\tfrac12\left(e^{-a^2}-e^{-b^2}\right) โดยเฉพาะ ∫0∞xe−x2dx=12\int_0^{\infty}x e^{-x^2}dx=\tfrac12

Answer

∫x e−x2 dx=−12e−x2+C\int x\,e^{-x^{2}}\,dx=-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}+C

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions