จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ 2^x คูณ (2^x + 4)^5 เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   มองหาฟังก์ชันข้างในที่อนุพันธ์ของมันวางอยู่ข้างนอกอยู่แล้ว วงเล็บ $2^x+4$ ถูกยกกำลัง และอนุพันธ์ของมันคือ

   $\frac{d}{dx}\left(2^{x}+4\right)=2^{x}\ln 2,$

   ซึ่งก็คือตัวประกอบ $2^x$ ที่อยู่ข้างนอก ต่างกันแค่ค่าคงตัว $\ln 2$ นั่นคือลายเซ็นของโจทย์ที่ต้องแทนค่า

2. 2

   แทนค่า ให้

   $u=2^{x}+4\quad\Longrightarrow\quad du=2^{x}\ln 2\,dx\quad\Longrightarrow\quad 2^{x}\,dx=\frac{du}{\ln 2}.$

   ฐานในที่นี้คือ $2$ ไม่ใช่ $e$ จึงต้องพก $\ln 2$ ติดไปด้วย การทำมันหล่นหายคือความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในปริพันธ์ข้อนี้

3. 3

   เขียนปริพันธ์ใหม่ให้อยู่ในตัวแปร u ทั้งหมด

   $\int 2^{x}\left(2^{x}+4\right)^{5}dx=\int u^{5}\,\frac{du}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}\int u^{5}\,du.$

4. 4

   ใช้กฎกำลังแล้วแทนกลับ

   $\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{u^{6}}{6}+C=\frac{\left(2^{x}+4\right)^{6}}{6\ln 2}+C.$

5. 5

   หาอนุพันธ์เพื่อยืนยัน โดยกฎลูกโซ่

   $\frac{d}{dx}\frac{\left(2^{x}+4\right)^{6}}{6\ln 2}=\frac{6\left(2^{x}+4\right)^{5}\cdot 2^{x}\ln 2}{6\ln 2}=2^{x}\left(2^{x}+4\right)^{5},$

   ซึ่งเป็นตัวถูกอินทิเกรตเดิม ปฏิยานุพันธ์จึงถูกต้อง