จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ (1 + tan² y) เทียบกับ y

Step-by-step solution

1. 1

   อย่าอินทิเกรตแยกทีละพจน์ การแยกเป็น $\int 1\,dy+\int\tan^{2}y\,dy$ ทำได้ตามกฎ แต่ไม่มีประโยชน์ ก้อนที่สองไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐานที่เขียนออกมาได้ ถ้าไม่ใช้เอกลักษณ์ตัวเดียวกับที่แก้โจทย์ทั้งข้อได้อยู่แล้ว

2. 2

   ใช้เอกลักษณ์พีทาโกรัส เริ่มจาก $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ แล้วหารทุกพจน์ด้วย $\cos^2\theta$ จะได้

   $\tan^{2}y+1=\sec^{2}y.$

   ตัวถูกอินทิเกรตจึงเป็นเพียง $\sec^{2}y$

3. 3

   มองให้ออกว่านี่คืออนุพันธ์ที่รู้จักอยู่แล้ว เนื่องจาก

   $\frac{d}{dy}\tan y=\sec^{2}y,$

   ปริพันธ์จึงได้ทันที

   $\int\sec^{2}y\,dy=\tan y+C.$

4. 4

   เขียนผลลัพธ์พร้อมค่าคงตัวของการอินทิเกรต

   $\int\left(1+\tan^{2}y\right)dy=\tan y+C.$

5. 5

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ย้อนกลับ ใช้กฎผลหารกับ $\tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}$

   $\frac{d}{dy}\tan y=\frac{\cos^{2}y+\sin^{2}y}{\cos^{2}y}=\frac{1}{\cos^{2}y}=\sec^{2}y=1+\tan^{2}y,$

   ซึ่งเป็นตัวถูกอินทิเกรตเดิมพอดี สังเกตว่าปฏิยานุพันธ์ใช้ได้บนแต่ละช่วงที่ $\cos y\neq 0$ นั่นคือระหว่างจำนวนเท่าคี่ของ $\tfrac{\pi}{2}$ ที่ติดกัน