จงหาปริพันธ์ของ dx / ((x − 1)√(−x² + 2x + 3))

Step-by-step solution

1. 1

   ทำนิพจน์ใต้กรณฑ์ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ค่าใต้กรณฑ์คือ

   $-x^{2}+2x+3=4-(x-1)^{2}$

   ปริพันธ์นี้จึงเป็นจำนวนจริงเฉพาะเมื่อ $|x-1|<2$ นั่นคือ $-1<x<3$ และ $x\neq 1$ การที่ $(x-1)$ ปรากฏทั้งข้างนอกและข้างในคือเบาะแสของการแทนค่าที่ถูกต้อง

2. 2

   ใช้การแทนค่าแบบส่วนกลับ สำหรับตัวถูกอินทิเกรตรูป $\dfrac{1}{(x-a)\sqrt{\text{กำลังสอง}}}$ ให้ตั้ง $x-a=\dfrac1t$ ในที่นี้

   $x-1=\frac1t\quad\Longrightarrow\quad dx=-\frac{dt}{t^{2}}$

   (สังเกตเครื่องหมายลบ การหาอนุพันธ์ของ $1/t$ ให้ $-1/t^{2}$ ถ้าทำมันหายไป เครื่องหมายของคำตอบทั้งก้อนจะพลิก)

3. 3

   เขียนกรณฑ์ใหม่ เมื่อ $(x-1)^{2}=\tfrac{1}{t^{2}}$

   $\sqrt{4-(x-1)^{2}}=\sqrt{4-\frac{1}{t^{2}}}=\frac{\sqrt{4t^{2}-1}}{|t|}$

4. 4

   ประกอบปริพันธ์ที่แปลงแล้ว

   $I=\int\frac{-\dfrac{dt}{t^{2}}}{\dfrac1t\cdot\dfrac{\sqrt{4t^{2}-1}}{|t|}}=-\int\frac{|t|}{t}\cdot\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}=-\operatorname{sgn}(t)\int\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}$

   ตัวประกอบ $t^{2}$ ที่รกรุงรังตัดกันหมดเกลี้ยง ซึ่งเป็นจุดประสงค์ของการแทนค่านี้

5. 5

   อินทิเกรตรูปมาตรฐานแล้วแทนกลับ เนื่องจาก $\displaystyle\int\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}=\frac12\ln\left|2t+\sqrt{4t^{2}-1}\right|+C$ และ $2t+\sqrt{4t^{2}-1}=\dfrac{2\operatorname{sgn}(x-1)+\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{|x-1|}$ ตัวประกอบเครื่องหมายจะรวมเข้ากับลอการิทึมได้เป็นสูตรเดียว

   $\boxed{I=-\frac12\ln\left|\frac{2+\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{x-1}\right|+C}$

   ซึ่งใช้ได้ทั้งบน $-1<x<1$ และ $1<x<3$

6. 6

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์และด้วยตัวเลข การหาอนุพันธ์ของคำตอบให้ $\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{-x^{2}+2x+3}}$ กลับมา เชิงตัวเลข $\displaystyle\int_{1.5}^{2.5}\frac{dx}{(x-1)\sqrt{-x^{2}+2x+3}}=0.634036$ และรูปปิดให้ $F(2.5)-F(1.5)=0.634036$ ✓ ส่วนอีกกิ่งหนึ่ง $\displaystyle\int_{0.2}^{0.8}=-0.713212$ และสูตรก็ให้ $-0.713212$ เช่นกัน ✓

7. 7

   ระวังกับดักเรื่องเครื่องหมายสองจุด เนื่องจาก $(2+\sqrt{\cdot})(2-\sqrt{\cdot})=(x-1)^{2}$ รูปทางเลือก $\tfrac12\ln\left|\tfrac{2-\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{x-1}\right|$ จึงต่างกันเพียงค่าคงตัวและใช้ได้เท่าเทียมกัน แต่รูปที่ ไม่มี เครื่องหมายลบนำหน้านั้นผิดทั้งสองกิ่ง และการใช้ $dx=+dt/t^{2}$ แทน $-dt/t^{2}$ จะทำให้ปฏิยานุพันธ์ทั้งก้อนกลับเครื่องหมาย